[論文レビュー] Dirichlet forms and degenerate elliptic operators

Tom Ter Elst, Derek W. Robinson+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2006

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、R^d 上の退化楕円型作用素に対して、正則で強い局所的ディリクレ型形式を用いて統一的な枠組みを確立し、関連する時間発展半群が、可測集合の間の距離関数 d(A;B) により定義される非対角項の減衰推定を満たすことを示している。主な結果は、任意の t>0 に対して ||(φ_A, S_t φ_B)|| ≤ exp(–d(A;B)²/(4t)) ||φ_A||₂ ||φ_B||₂ が成り立ち、S_t が L²(A) を保存するための必要十分条件は d(A;Aᶜ)=∞ であることである。

ABSTRACT

It is shown that the theory of real symmetric second-order elliptic operators in divergence form on $\Ri^d$ can be formulated in terms of a regular strongly local Dirichlet form irregardless of the order of degeneracy. The behaviour of the corresponding evolution semigroup $S_t$ can be described in terms of a function $(A,B) \mapsto d(A ;B)\in[0,\infty]$ over pairs of measurable subsets of $\Ri^d$. Then \[ |(ϕ_A,S_tϕ_B)|\leq e^{-d(A;B)^2(4t)^{-1}}\|ϕ_A\|_2\|ϕ_B\|_2 \] for all $t>0$ and all $ϕ_A\in L_2(A)$, $ϕ_B\in L_2(B)$. Moreover $S_tL_2(A)\subseteq L_2(A)$ for all $t>0$ if and only if $d(A ;A^c)=\infty$ where $A^c$ denotes the complement of $A$.

研究の動機と目的

• R^d 上で、可測で、可能性として退化する係数を持つ、発散型の2階楕円型作用素の一般枠組みを構築すること。
• 標準的二次形式理論の限界を克服すること。これは、非強い楕円型（退化）作用素では閉性が欠けるため、理論が成立しないことによる。
• 可測集合 A と B の間の距離関数 d(A;B) を用いて、関連する時間発展半群 S_t を特徴付けること。
• S_t がすべての t>0 に対して L²(A) を保存するための条件を、d(A;Aᶜ)=∞ と関連付けること。

提案手法

• 二次形式 h の正則部分 h_r を用いて作用素を定式化する。h_r は h よりも大きく、閉性を満たす最大の閉形式であり、h が閉でない場合でも存在を保証する。
• 正則化された形式 h_ε = h + εl（l はラプラシアンのディリクレ型形式）の強い解像限界として、関連する自己共役作用素 H₀ を構成する。
• 距離関数 d(A;B) = inf{d(x;y) : x∈A, y∈B} を定義する。ここで d(x;y) = sup{|ψ(x)−ψ(y)| : ψ∈D(E) ∩ L∞, |||Ĩψ||| ≤ 1} であり、Ĩψ は ψ に関連するエネルギー測度である。
• エネルギー測度とディリクレ型形式の局所的正則性の性質を用いて、距離関数を介した半群核の非対角項の境界を導出する。
• 切断関数のエネルギー測度が小さい条件の下で、d(A;B) と d₁(A;B) が同値であることを確立する。特に、コンパクト集合に対しては、d(A;B) = d₁(A;B) が成り立つ。
• 距離関数とディリクレ型形式の構造を用いて、S_tL²(A) ⊆ L²(A) for all t>0 が成り立つための必要十分条件が d(A;Aᶜ) = ∞ であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的二次形式が閉でない場合に、発散型の退化楕円型作用素をどのように厳密に定義できるか。
• RQ2 退化係数に対する自己共役作用素の構成において、二次形式の正則部分 h_r の役割は何か。
• RQ3 可測集合 A と B の間の幾何的距離関数 d(A;B) を用いて、関連する時間発展半群 S_t を有界化できるか。
• RQ4 どのような条件下で、半群 S_t が可測集合 A に対して L²(A) を保存するか。
• RQ5 距離関数 d(A;B) は、エネルギー測度が制御された有界関数を用いて定義される簡易版 d₁(A;B) と同値か。

主な発見

• 半群 S_t は、すべての t>0 およびすべての φ_A ∈ L²(A), φ_B ∈ L²(B) に対して、|(φ_A, S_t φ_B)| ≤ exp(–d(A;B)²/(4t)) ||φ_A||₂ ||φ_B||₂ という非対角項の減衰推定を満たす。
• 半群 S_t がすべての t>0 に対して L²(A) を保存するための必要十分条件は、d(A;Aᶜ) = ∞ である。
• 空間にエネルギー測度が任意に小さい切り替え関数が存在する場合、d(A;B) と d₁(A;B) は同値であり、特にコンパクト集合に対しては d(A;B) = d₁(A;B) が成り立つ。
• 区間 (0,1) 上のラプラシアンとディリクレ境界条件の例では、A = (0,a), B = (b,1) で a<b のとき、d₁(A;B) = 0 であるが、d(A;B) ≥ b−a であるため、d₁ は d よりも厳密に小さいことがある。
• 係数行列 C が一様に正定値である場合、距離関数 d(x;y) は C が誘導するリーマン計量における測地距離と一致する。
• H₀ を H_ε = H + εΔ の極限として構成することで、h が閉でない場合でも H₀ が適切に定義されることを保証し、退化作用素に対して堅牢な手法を提供する。