[論文レビュー] Dirichlet-Neumann Waveform Relaxation Method for the 1D and 2D Heat and Wave Equations in Multiple subdomains

Martin J. Gander, Félix Kwok+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、空間時間にわたる非被覆領域分割を用いて1次元および2次元の熱方程式と波動方程式を解くために、交互にディリクレおよびノイマン境界条件を用いる反復的領域分割法であるディリクレ＝ノイマン波形緩和（DNWR）法を提案する。熱方程式に対しては、有限時間ウィンドウ内での超線形収束が、緩和パラメータ θ=1/2 の下で証明される。波動方程式に対しては、同様の条件下で有限ステップ収束が達成され、最適化されたシュバルツWR法よりも収束が速い。

ABSTRACT

We present a Waveform Relaxation (WR) version of the Dirichlet-Neumann algorithm, formulated specially for multiple subdomains splitting for general parabolic and hyperbolic problems. This method is based on a non-overlapping spatial domain decomposition, and the iteration involves subdomain solves in space-time with corresponding interface condition, and finally organize an exchange of information between neighboring subdomains. Using a Fourier-Laplace transform argument, for a particular relaxation parameter, we present convergence analysis of the algorithm for the heat and wave equations. We prove superlinear convergence for finite time window in case of the heat equation, and finite step convergence for the wave equation. The convergence behavior however depends on the size of the subdomains and the time window length on which the algorithm is employed. We illustrate the performance of the algorithm with numerical results, and show a comparison with classical and optimized Schwarz WR methods.

研究の動機と目的

• 放物型および双曲型PDEに対して、2領域から複数領域へのディリクレ＝ノイマン波形緩和（DNWR）法の拡張を目的とする。
• フーリエ＝ラプラス変換を用いて、1次元熱方程式および波動方程式に対するDNWRの収束挙動を分析すること。
• 2次元波動方程式へのDNWRフレームワークの一般化と、数値的検証による収束性の検証を目的とする。
• 収束速度および計算コストの観点から、DNWRと最適化されたシュバルツ波形緩和（SWR）およびノイマン＝ノイマンWR（NNWR）の性能を比較すること。
• 非一様時間グリッドおよび領域界面を越えて波動速度が不連続となる場合においても、DNWRの収束性と安定性を示すこと。

提案手法

• 領域界面で交互にディリクレおよびノイマン条件を用いる非被覆空間時間領域分割法を定式化する。
• 反復的領域問題の解法：まず界面でディリクレ条件を用い、次にノイマン条件を用い、有限時間ウィンドウ内で波形緩和を適用する。
• 収束の安定化および加速のため、緩和パラメータ θ ∈ (0,1] を用いる。θ=1/2 が熱方程式および波動方程式の両方で最適収束をもたらすことが示されている。
• 1次元熱方程式および波動方程式の収束率を導出するために、フーリエ＝ラプラス変換分析を適用する。
• 有限差分法による空間離散化と非一様時間刻みを用いた数値実装により、理論的結果の妥当性を検証する。
• 非一様時間グリッドを用いる場合の領域間データ交換には、マージソートに類似したアルゴリズムを用いた時間射影技術を適用し、線形計算量を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の領域および有限時間ウィンドウを想定した1次元熱方程式に対して、DNWR法の収束挙動はいかなるものか？
• RQ2 1次元波動方程式に対して、DNWR法は有限ステップ収束を達成できるか？その条件は時間ウィンドウおよび領域サイズに関してどのようなものか？
• RQ3 2次元波動方程式へのDNWR法の拡張はどのように行われるか？観察される収束特性はどのようなものか？
• RQ4 DNWR法は、最適化されたシュバルツ波形緩和（SWR）およびノイマン＝ノイマンWR（NNWR）と比較して、収束速度および計算コストの点でどのように異なるか？
• RQ5 領域が非一様時間グリッドを用い、かつ領域界面で波動速度が不連続となる場合でも、DNWR法は収束性と安定性を維持できるか？

主な発見

• 1次元熱方程式に対しては、有限時間ウィンドウ T において、緩和パラメータ θ=1/2 を用い、条件 T ≤ kh_min/c を満たす場合に超線形収束が証明される。
• 1次元波動方程式に対しては、T ≤ kh_min/c を満たす場合、θ=1/2 で2回の反復以内に有限ステップ収束が達成される。
• 2次元波動方程式においては、T < kh_min/c を満たす場合に有限ステップ収束が達成され、1次元の場合と同様の挙動を示す。
• 数値結果から、DNWRは最適化されたシュバルツ波形緩和（SWR）よりも収束が速いことが示された。特に高次元において顕著である。
• NNWRはDNWRよりも収束が速いが、各領域でディリクレおよびノイマンの両方の部分問題を解く必要があるため、反復あたりの計算コストがほぼ2倍にのぼる。
• 非一様時間グリッドおよび不連続な波動速度の下でも、DNWR法は収束性を維持する。T=2 の場合に3ステップの反復で収束が確認された。