[論文レビュー] Dirichlet series associated to cubic fields with given quadratic resolvent

Henri Cohen, Frank Thorne|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ℚ 上のレイトクラス群構造と指標和を用いて、固定された二次的解体体 ℚ(√D) を持つ立方体体の数を数える明示的なディリクレ級数の公式を提供する。主な貢献は、判別式 −D/3、−3D、−27D の立方体体に関連するオイラー積を含む閉形式の式であり、PARI/GP 実装により、判別式 10²³ 未満の S₃-六次体を効率的に計算可能である。

ABSTRACT

Let k be a quadratic field. We give an explicit formula for the Dirichlet series enumerating cubic fields whose quadratic resolvent field is isomorphic to k. Our work is a sequel to previous work of Cohen and Morra, where such formulas are proved in a more general setting, in terms of sums over characters of certain groups related to ray class groups. In the present paper we carry the analysis further and prove explicit formulas for these Dirichlet series over Q. In a companion paper we do the same for quartic fields having a given cubic resolvent. As an application (not present in the initial version), we compute tables of the number of S_3-sextic fields E with |Disc(E)| < X, for X ranging up to 10^23. An accompanying PARI/GP implementation is available from the second author's website.

研究の動機と目的

• 固定された二次的解体体 ℚ(√D) を持つ立方体体 K について、∑|Disc(K)|⁻ˢ の明示的公式を導出すること。
• 先行研究の一般指標和の公式を、ℚ 上で明示的かつ計算に使える形に簡略化すること。
• この公式を用いて、Galois群が S₃ である S₃-六次体（ℚ 上でGalois的）を大きな判別式の上限まで数えること。
• これらの数え上げを効率的に行うための PARI/GP 実装を提供し、既存の理論的および数値的データと照合すること。

提案手法

• レイトクラス群上の指標和を用いて、二次的解体体 ℚ(√D) を持つ立方体体 K について、Φ_D(s) = 1/2 + ∑ f(K)⁻ˢ の明示的ディリクレ級数を導出する。
• クンマー理論および二進立方形式（Ohno, Nakagawa）の結果を応用し、素数ごとのオイラー積への関連を確立する。
• 判別式が −D/3、−3D、−27D の立方体体を用いて補正項を組み込み、積構造を完全化する。
• 恒等式 Disc(Ẽ) = Disc(k)³ f(K)⁴ を用いて、立方体体のデータと S₃-六次体の判別式を関連付ける。
• Belabas の立方体体テーブルをパースし、(X/D³)¹⁴ まで部分級数を合計することで、PARI/GP に公式を実装する。
• 既知の漸近的評価および N⁺(X;S₃) と N⁻(X;S₃) の先行計算と照合することで、結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された二次的解体体を持つ立方体体の一般指標和の公式を、抽象的な群論的構成を避けて ℚ 上で明示的に表現できるか？
• RQ2 二次的解体体 ℚ(√D) を持つ立方体体のディリクレ級数 Φ_D(s) の正確な構造は何か？また、関連判別式を持つ立方体体とどのように関連するか？
• RQ3 このような公式をどのように効率的に実装すれば、有界な判別式を持つ S₃-六次体の数え上げが可能になるか？
• RQ4 X = 10²³ までにおける数え上げ関数 N⁺(X;S₃) および N⁻(X;S₃) の数値的挙動は何か？理論的予測と比較するとどうなるか？

主な発見

• 本稿では、Φ_D(s) の明示的公式を、p ≡ 1 mod 6 を満たす素数 p に関する積および、判別式が −D/3、−3D、−27D の立方体体に結びつく追加のオイラー因子からなる形で導出する。
• この公式により、|Disc(Ẽ)| < X を満たす S₃-六次体 Ẽ の数を、X = 10²³ まで計算可能であり、X = 10¹² から 3×10²³ までにわたり表形式で結果を提示する。
• 正の判別式では、X = 10²³ で N⁺(X;S₃) は 5,207,310 に達する。負の判別式では、X = 10²³ で N⁻(X;S₃) は 16,399,890 に達する。
• Belabas の立方体体テーブルとカスタムパーサーを用いた PARI/GP 実装では、負の判別式で約 3 時間、正の判別式で約 10 時間を要した。
• 計算結果は、理論的漸近的評価 N±(X;S₃) ∼ B±X¹³ および Taniguchi と Thorne の先行研究と整合しており、X⁵¹⁸ 次の補正項の存在を裏付ける。
• 本手法は効率的かつスケーラブルであり、Belabas のコードに直接統合することで、X = 10²⁷ への拡張も可能である。