[論文レビュー] Disc counting on toric varieties via tropical curves

Takeo Nishinou|ArXiv.org|Oct 22, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ラグランジュ境界条件を満たすトーリック多様体内の正則的円板と、1つのストップをもつトロピカル曲線の間の対応関係を確立し、対応する数え上げ不変量が、対数的グロモフ＝ウィッテン理論およびトロピカル幾何学によって定義されるものと一致することを示している。これらの不変量は、制約条件の小さな摂動に対して安定であるが、退化極限に依存しており、閉じた曲線の不変量とは区別される。

ABSTRACT

In this paper, we define two numbers. One comes from counting tropical curves with a stop and the other is the number of holomorphic discs in toric varieties with Lagrangian boundary condition. Both of these curves should satisfy some matching conditions. We show that these numbers coincide. These numbers can be considered as Gromov-Witten type invariants for holomorphic discs, and they have both similarities and differences to the counting numbers of closed holomorphic curves. We study several aspects of them.

研究の動機と目的

• ラグランジュ境界条件を満たすトーリック多様体内の正則的円板に対するグロモフ＝ウィッテン型不変量を定義し、それらを研究すること。
• このような正則的円板と、1つのストップをもつ genus-zero トロピカル曲線との間の対応関係を確立すること。
• 一致する条件のもとで、トロピカル曲線と複素円板の両方の数え上げ不変量が一致することを示すこと。
• これらの不変量が、トーリック多様体の退化極限にどのように依存するかを調査すること。
• 不変量が制約条件の小さな摂動に対して不変であるが、一致条件の位置の大きな変化に対しては不変でないことを示すこと。

提案手法

• ストップをもつトロピカル曲線を、$\mathbb{R}^n$ 内の genus-zero トロピカル曲線として定義し、アフィン制約と、特定の制約（ストップ）をある点に持つものとする。
• 対数的変形理論とトーリック退化を用いて、$\pi: \mathfrak{X} \to \mathbb{C}$ のファイバーの中心で退化する正則的円板をモデル化する。
• トーリック退化の中心ファイバー $X_0$ 上に前対数的円板を構成し、組合せ論的一致条件を介してトロピカル曲線と結びつける。
• 安定写像のグロモフコンパクトネスおよび正則性定理を用いて、数え上げの有限性とwell-defined性を保証する。
• 重み $\mathfrak{W}(\Gamma_s, \mathbf{E}, h, \widetilde{\mathbf{A}})$ を用いて、ストップおよび制約をもつトロピカル曲線の重み付き数え上げとして、円板数え上げ不変量 $N_D(\Delta, \widetilde{\mathbf{A}})$ を定義する。
• 変形理論および対数幾何の技法を用いて、境界条件および制約条件を満たす任意の安定正則的円板が、ストップをもつトロピカル曲線から生じることを示すことにより、主定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ境界条件を満たすトーリック多様体内の正則的円板の数え上げは、ストップをもつトロピカル曲線の数え上げと一致するか？
• RQ2 制約条件の小さな摂動に対して、不変量はどのように振る舞うか？
• RQ3 トーリック多様体の退化極限に依存する円板数え上げ不変量の性質は何か？
• RQ4 トロピカル数え上げを用いることで、複素幾何学のみではアクセスが難しい正則的円板不変量の性質を計算または導出できるか？
• RQ5 トロピカル曲線にストップが存在する場合、それが複素側の正則的円板の境界条件に対応する仕組みは何か？

主な発見

• ラグランジュ境界条件を満たすトーリック多様体内の正則的円板の数は、一致する制約をもつストップをもつトロピカル曲線の数に等しい。
• 円板数え上げ不変量 $N_D(\Delta, \widetilde{\mathbf{A}})$ は、制約位置の小さな摂動に対して不変である。
• この不変量は退化極限に依存しており、一致条件の位置の大きな変化に対しては不変でない。
• 一般の射影に対して、不変量 $N_D(\Delta, \widetilde{\mathbf{A}})$ は、$\mathbb{Q}^2$ 上の次数 $\Delta'$ のトロピカル曲線の代数的数え上げ $N^{alg(\widetilde{\mathbf{L}})}_{0,\Delta'}$ に等しい。
• 制約が、codimension $d_0+1$ のアフィン部分空間 $A_0$ である場合でも、この対応関係は成り立つ。これは、点制約の場合の一般化である。
• トロピカル曲線の重みには、各制約 $A_i$ からの寄与 $\delta_i$（特に $\delta_0$ はストップからの寄与）が含まれており、適切な数え上げが保証される。