[論文レビュー] Discontinuity of the phase transition for the planar random-cluster and Potts models with $q>4$

Hugo Duminil‐Copin, Maxime Gagnebin+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2016

Theoretical and Computational Physics参考文献 12被引用数 60

ひとこと要約

この論文は、q > 4 のとき、正方形格子上の q状態 Potts およびランダムクラスターモデルが不連続な相転移を示すことを証明している。臨界点における複数の異なるギブス測度の存在、自由境界条件下での相関関数の指数的減衰、および単色境界条件またはワイヤード境界条件を持つ測度における秩序の存在を確立している。証明は、六発射模型の転送行列のペロン＝フロベニウス固有値の厳密計算に依拠し、それらの比が相関長にどのように関係するかを示し、q → 4⁺ のときの漸近挙動 exp(π²/√(q−4)) を得ている。

ABSTRACT

We prove that the $q$-state Potts model and the random-cluster model with cluster weight $q>4$ undergo a discontinuous phase transition on the square lattice. More precisely, we show - Existence of multiple infinite-volume measures for the critical Potts and random-cluster models, - Ordering for the measures with monochromatic (resp. wired) boundary conditions for the critical Potts model (resp. random-cluster model), and - Exponential decay of correlations for the measure with free boundary conditions for both the critical Potts and random-cluster models. The proof is based on a rigorous computation of the Perron-Frobenius eigenvalues of the diagonal blocks of the transfer matrix of the six-vertex model, whose ratios are then related to the correlation length of the random-cluster model. As a byproduct, we rigorously compute the correlation lengths of the critical random-cluster and Potts models, and show that they behave as $\exp(\pi^2/\sqrt{q-4})$ as $q$ tends to 4.

研究の動機と目的

• q > 4 のとき、Potts およびランダムクラスターモデルにおける相転移が不連続であることを証明することで、Baxterの予想を完成させること。
• q > 4 のとき、臨界逆温度βcにおける無限体積ギブス測度が複数の異なる測度をもつことを確立すること。
• 自由境界条件下での臨界 Potts およびランダムクラスターモデルにおける相関関数の指数的減衰を示すこと。
• 臨界測度における秩序の存在を示すこと：µi_βc[σ0 = i] > 1/q（i ∈ {1, ..., q}）であり、これは自発磁化を示している。
• 対角方向における逆相関長を厳密に計算し、q → 4⁺ のときの漸近挙動を導出すること。

提案手法

• 六発射模型の転送行列を用いて、対角ブロックのペロン＝フロベニウス固有値を計算すること。
• これらの固有値の比を、厳密なスペクトル解析を用いてランダムクラスターモデルの相関長に関連させること。
• フーリエ解析とパーサバルの定理を用いて、生成関数の対数的モジュラスを含む積分を評価すること。
• 長方形の contour を用いた線積分と留数計算を用いて、双曲正弦関数を含む無限級数を評価すること。
• Potts モデルとランダムクラスターモデルの標準的結合を活用し、ランダムクラスターモデルから得られた結果を Potts モデルに転送すること。
• 優越収束定理と部分和の和分を用いて、フーリエ展開に伴う条件収束級数を扱うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q > 4 のとき、平面的 q状態 Potts モデルにおける相転移は不連続になるか？
• RQ2 Potts およびランダムクラスターモデルにおいて、q > 4 のとき臨界点に複数の異なるギブス測度が存在するか？
• RQ3 臨界ランダムクラスターモデルおよび Potts モデルにおいて、q → 4⁺ のときの相関長の漸近挙動は何か？
• RQ4 単色境界条件またはワイヤード境界条件を持つ臨界測度は、秩序を示すか（すなわち、P(σ0 = i) > 1/q（i ≥ 1）が成り立つか）？
• RQ5 対角方向における逆相関長は正であり、閉形式で厳密に計算可能か？

主な発見

• q > 4 のとき、臨界 Potts およびランダムクラスターモデルは複数の異なるエルゴード的ギブス測度をもつ。これは、相転移が不連続であることを証明している。
• 自由境界条件下の臨界測度は相関関数の指数的減衰を示し、短距離秩序を確認している。
• すべての i ∈ {1, ..., q} に対して、臨界 Potts 測度は µi_βc[σ0 = i] > 1/q を満たしており、これは自発磁化および秩序を示している。
• 対角方向における逆相関長は λ + 2∑_{k=1}^∞ (−1)^k / k ⋅ tanh(kλ) で与えられ、ここで cosh(λ) = √q / 2 であり、この量は正である。
• 相関長は q → 4⁺ のとき、漸近的に exp(π² / √(q − 4)) に漸近する。これは、q = 4 の近傍における相関長の発散を確認している。
• 恒等式 ∑_{m≥0} 4 / ((2m+1) sinh(π²(2m+1)/(2λ))) = λ + 2∑_{m≥1} (−1)^m / m ⋅ tanh(mλ) は、線積分と留数計算を用いて厳密に証明されている。