[論文レビュー] Discontinuous Almost Automorphic Functions and Almost Automorphic Solutions of Differential Equations with Piecewise Constant Argument

Alan Chávez, Samuel Castillo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2013

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 26被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、区分的定数引数を伴う微分方程式（DEPCA）において自然に生じる不連続関数であるZ-ほぼ自己同型関数を導入し、ほぼ自己同型解の研究を行う。指数的二分法と離散双-ほぼ自己同型グリーン関数を活用することで、非-autonomous DEPCAの有界解が、整数への離散的制限が離散的ほぼ自己同型である場合にかつその場合に限り、ほぼ自己同型であることを証明し、ほぼ自己同型解の理論をハイブリッド連続-離散系へと拡張する。

ABSTRACT

In this article we introduce a class of discontinuous almost automorphic functions which appears naturally in the study of almost automorphic solutions of differential equations with piecewise constant argument. Their fundamental properties are used to prove the almost automorphicity of bounded solutions of a system of differential equations with piecewise constant argument. Due to the strong discrete character of these equations, the existence of a unique discrete almost automorphic solution of a non-autonomous almost automorphic difference system is obtained, for which conditions of exponential dichotomy and discrete Bi-almost automorphicity are fundamental.

研究の動機と目的

• DEPCA理論における不連続なほぼ自己同型関数の体系的取り扱いの欠如に対処すること。
• 区分的定数引数を伴うハイブリッド微分方程式におけるほぼ自己同型解のフレームワークを確立すること。
• 非-autonomous DEPCAの有界解が、整数値列が離散的ほぼ自己同型である場合にかつその場合に限り、ほぼ自己同型であることを証明すること。
• DEPCAにおける既存のほぼ周期的および擬似ほぼ周期的解に関する結果を、ほぼ自己同型の設定へと一般化すること。
• 不連続ではあるが整数点において構造的正規性を保つZ-ほぼ自己同型関数を導入し、その性質を分析すること。

提案手法

• ほぼ自己同型関数を離散点へ一般化する新しい種類の不連続関数としてZ-ほぼ自己同型関数を導入すること。
• 行列AとBの同時三角化を用いて、スカラー方程式の階層的鎖へシステムを分解すること。
• 指数的二分法の条件を適用し、関連する差分作用素の安定性と可逆性を保証すること。
• 離散双-ほぼ自己同型グリーン関数を用いて、差分方程式 x(n+1) = D(n)x(n) + h(n) に対する一意な離散的ほぼ自己同型解を構成すること。
• 離散列 x(n) が離散的ほぼ自己同型であれば、三角化されたシステムにおける後退代入により、連続解 x(t) がほぼ自己同型であることを証明すること。
• ほとんど自己同型関数とZ-ほぼ自己同型関数の合成（例：f([t]））がZ-ほぼ自己同型のままであるという事実を活用し、再帰的解析を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界解 x(t) が整数制限 x(n) が不連続であっても、DEPCA の解としてほぼ自己同型である可能性は存在するか？
• RQ2 非-autonomous差分方程式に対して、離散的ほぼ自己同型解が存在・一意に保証されるための条件は何か？
• RQ3 DEPCAにおける x([t]) の不連続性を扱うために、Z-ほぼ自己同型関数をどのように定義・特徴づけることができるか？
• RQ4 連続解 x(t) のほぼ自己同型性と、列 x(n) の離散的ほぼ自己同型性は同値か？
• RQ5 指数的二分法は、DEPCAに由来する差分方程式に対して、離散的ほぼ自己同型解の存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• DEPCA x'(t) = Ax(t) + Bx([t]) + f(t) の有界解 x(t) がほぼ自己同型であるための必要十分条件は、列 x(n) が離散的ほぼ自己同型であることである。
• 指数的二分法および D(n) と h(n) の離散的双-ほぼ自己同型性の下で、差分方程式 x(n+1) = D(n)x(n) + h(n) に対して一意な離散的ほぼ自己同型解が存在することが保証される。
• Z-ほぼ自己同型関数は、DadsとLachimiが導入した不連続なほぼ周期的関数を一般化し、DEPCA の解析に自然な枠組みを提供する。
• x([t]) が不連続であっても、x([t]) がZ-ほぼ自己同型であり、システムの再帰的構造のおかげで、DEPCA の解 x(t) はほぼ自己同型である。
• 行列 A と B が同時に三角化可能であるという条件下で、システムの次元に関する帰納法による再帰的証明が可能である。
• 系として、f がZ-ほぼ周期的または有理数周期のZ-周期的であれば、有界解はそれぞれほぼ周期的または周期的であることが示され、x(n) の離散的挙動に依存する。