[論文レビュー] Discontinuous Dynamical Systems: A tutorial on solutions, nonsmooth analysis, and stability

Jorge Cortés|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2009

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 1被引用数 401

ひとこと要約

本稿は、不連続力学系に関する包括的なチュートリアルを提示し、解の定義、非滑らかダイナミクスの分析、安定性の保証のための厳密なフレームワークを導入する。一般化された条件下で解の存在および一意性の結果を確立し、フィリッポフ解や集合値Lie微分といったツールを導入し、制御、力学、最適化に現れる不連続性を有するシステムの分析の基盤を提供する。

ABSTRACT

This paper considers discontinuous dynamical systems, i.e., systems whose associated vector field is a discontinuous function of the state. Discontinuous dynamical systems arise in a large number of applications, including optimal control, nonsmooth mechanics, and robotic manipulation. Independently of the particular application, one always faces similar questions when dealing with discontinuous dynamical systems. The most basic one is the notion of solution. We begin by introducing the notions of Caratheodory, Filippov and sample-and-hold solutions, discuss existence and uniqueness results for them, and examine various examples. We also give specific pointers to other notions of solution defined in the literature. Once the notion of solution has been settled, we turn our attention to the analysis of stability of discontinuous systems. We introduce the concepts of generalized gradient of locally Lipschitz functions and proximal subdifferential of lower semicontinuous functions. Building on these notions, we establish monotonic properties of candidate Lyapunov functions along the solutions. These results are key in providing suitable generalizations of Lyapunov stability theorems and the LaSalle Invariance Principle. We illustrate the applicability of these results in a class of nonsmooth gradient flows.

研究の動機と目的

• 不連続なベクトル場において、古典的解が存在しない場合に意味のある解を定義するという根本的課題に取り組む。
• 滑らかでないダイナミクスを有するシステムに適用可能な、一般化された微分および集合値Lie微分を含む、非滑らか解析のための堅牢な理論的枠組みを構築する。
• 非滑らかおよび集合値ダイナミクスに適応された、リャプノフに基づく方法を用いた不連続系における安定性のための条件を確立する。
• スライディングモード制御、衝撃力学、最適制御などの多様な応用を、共通の数学的形式主義の下で統合的かつ体系的に分析する。
• スイッチング、摩擦、衝撃、または不連続フィードバックを含むシステムを扱う研究者および実務家向けに、自己完結的な参考文献を提供する。

提案手法

• 不連続点におけるベクトル場の値の凸包を用いることで、不連続ベクトル場の解を定義するフィリッポフ解の概念を導入する。
• 局所リプシッツ関数および上界集合値Lie微分を用いて、非滑らか設定におけるリャプノフ関数の時間微分を分析する。
• 時間変動する系に対して、カラテオドリの存在定理を適用し、ベクトル場の弱い正則性条件のもとで解の存在を保証する。
• スライディングモードの概念を導入し、フィリッポフの凸化法および一般化されたリャプノフ関数を用いてその安定性を分析する。
• 接触および衝撃ダイナミクスのモデル化に、凸集合への距離関数および最小距離関数といった非滑らか解析の道具を適用する。
• 集合値写像および微分包含を用いて、不連続ダイナミクスを有するシステムを表現し、ハイブリッドおよび非滑らか系の統一的取り扱いを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル場に不連続性がある場合、古典的解が失敗する不連続力学系の解をどのように定義できるか？
• RQ2 摩擦や衝撃が存在する状況において、不連続ベクトル場を有する系で解の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ3 一般化された微分および集合値Lie微分を用いて、リャプノフに基づく安定性解析を不連続系にどのように拡張できるか？
• RQ4 スライディングモードは、不連続フィードバックを有する系の安定化に果たす役割は何か？ また、その存在および安定性をどのように厳密に確立できるか？
• RQ5 局所リプシッツ関数および凸包を含む非滑らか解析の道具を、サーモスタット、ロボットアーム、最適制御系などの実世界のシステムのモデリングおよび分析にどのように応用できるか？

主な発見

• フィリッポフ解の概念により、古典的解が失敗するような問題（例：坂の上を滑るブロック）に対しても、数学的に厳密な軌道の定義が可能になる。
• 方程式 $\ddot{x} + \operatorname{sign}(x) = 0$ で表される非滑らか調和振動子では、平衡点への有限時間収束が観察され、フィリッポフの枠組みにより解が存在することが保証される。
• 不連続フィードバックを有する系、例えば一様例 $\dot{x} = x[(u-1)^2 - (x-1)][(u+1)^2 + (x-2)]$ においては、連続的な安定化フィードバックは存在せず、不連続制御則の導入が不可避となる。
• ベクトル場が時間に関して可測で、状態に関して連続的であり、局所本質的有界性を満たす限り、カラテオドリ解の存在が保証される。
• 上界集合値Lie微分を用いることで、非滑らか系におけるリャプノフ関数の安定性解析が可能となり、漸近的安定性の十分条件の導出が可能になる。
• 凸関数および局所リプシッツ関数は、非滑らか解析の基盤をなしており、一般化勾配の存在を保証し、不連続系における安定性基準の定義に不可欠である。