[論文レビュー] Discontinuous Galerkin methods for hyperbolic and advection-dominated problems on surfaces

Andreas Dedner, Pravin Madhavan|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、背景メッシュからのレベルセット射影によって構築された離散的表面を用いて、 implicitly 定義された曲面上の双曲型および拡散優勢問題に、ジャンプ安定化付き上流化フラックスを用いた不連続ガラーキン（DG）法を拡張する。離散速度場に関する仮定の下で最適な事前誤差推定を証明し、Raviart-Thomas型速度再構成を用いて数値的に検証することで、安定性と不自然な振動の不在を示している。

ABSTRACT

We extend the discontinuous Galerkin (DG) framework to the analysis of first-order hyperbolic and advection-dominated problems posed on implicitly defined surfaces. The focus will be on the hyperbolic part, which is discretised using a "discrete surface" generalisation of the jump-stabilised upwind flux. A key issue arising in the analysis (which does not appear in the planar setting) is the treatment of the discrete velocity field, choices of which play an important role in the stability of the scheme. We then prove optimal error estimates in an appropriate norm given a number of assumptions on the discrete velocity field, which are then investigated and discussed in more detail. The theoretical results are verified numerically for a number of test problems exhibiting advection-dominated behaviour.

研究の動機と目的

• implicitly 定義された曲面上の一次双曲型および拡散優勢PDEに対して、安定な不連続ガラーキン法を開発すること。
• 通常の有限要素法が不自然な振動を生じる可能性がある曲面における拡散優勢流れの安定化の課題に対処すること。
• 平面領域から曲面ベースのDG法へのジャンプ安定化付き上流化フラックスの拡張。
• 離散速度場の近似がスキームの安定性および収束性に与える影響を分析すること。
• 鋭い層と曲がった幾何構造を有するベンチマーク問題に対して、数値的に手法を検証すること。

提案手法

• 連続多様体Γの離散的表面近似を、背景直交座標メッシュからのレベルセット射影によって構築する。
• 双曲的項に対してジャンプ安定化付き上流化フラックスを用いた曲面DG弱形式を適用し、Brezziら（2004）の手法を曲面へ一般化する。
• 速度場の接線性や発散誤差の低減を図るため、曲面メッシュ上にRaviart-Thomas型補間を用いて離散速度場を定義する。
• 離散速度場の法線成分および発散に関する仮定の下で、L²およびDGノルムにおける最適な事前誤差推定を導出する。
• ラプラス＝ベルトラミ作用素に対して曲面有限要素法を用い、それとDG法を組み合わせて対流項を扱う。
• 離散表面における数値積分を実施し、要素境界での解およびフラックスのジャンプを考慮した一貫性のある双線形形式を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続ガラーキン法を、 implicitly 定義された曲面上の双曲型および拡散優勢PDEにどのように拡張できるか。
• RQ2 平面領域と比較して、曲面上の離散速度場が引き起こす主な安定性の課題は何か。
• RQ3 離散速度場に関する仮定が、曲面DGスキームの収束性および安定性に与える影響は何か。
• RQ4 速度場にRaviart-Thomas型補間を適用することで、非ゼロ発散や法線成分のジャンプといった問題が緩和されるか。
• RQ5 実際の拡散優勢問題において、曲面上で達成可能な収束速度および精度は何か。

主な発見

• ジャンプ安定化付き上流化フラックスを用いた曲面DG法は、拡散優勢問題においてL²ノルムで最適なO(h²)収束およびDGノルムでO(h)収束を達成する。
• 数値実験では、安定化なしの曲面FEMはグローバルな不自然な振動を示すが、曲面IP/UP法は安定で振動なしである。
• 離散速度場にRaviart-Thomas型補間を用いることで、画素定数射影と比較して誤差が約0.5倍に低減される。
• εが小さい場合（例：ε = 10⁻⁶）でも、最適な収束レートが維持され、拡散優勢領域におけるロバストネスが確認される。
• 理論的誤差推定は数値的に検証され、適切な速度場の仮定のもとで、収束次数が予測された漸近的レートに近づく。
• 本手法は、強い対流層を有する単位球などの複雑な幾何構造に対しても、安定性と精度を維持して有効である。