[論文レビュー] Discontinuous Galerkin methods for nonvariational problems

Andreas Dedner, Tristan Pryer|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、LakkisとPryerが提唱した非変分的有限要素法（NVFEM）を、有限要素ヘッセ行列を不連続な補助変数として扱うことで、不連続ガレルキン（DG）フレームワークへと拡張する。この手法により、標準的なDG法と同等のスパースでサイズの等しい線形系が得られ、破れたソボレフノルムにおける最適収束速度が達成されるとともに、連続的定式化と比較して計算コストを顕著に低減する。

ABSTRACT

We extend the finite element method introduced by Lakkis and Pryer [2011] to approximate the solution of second order elliptic problems in nonvariational form to incorporate the discontinuous Galerkin (DG) framework. This is done by viewing the NVFEM as a mixed method whereby the finite element Hessian is an auxiliary variable in the formulation. Representing the finite element Hessian in a discontinuous setting yields a linear system of the same size and having the same sparsity pattern of the compact DG methods for variational elliptic problems. Furthermore, the system matrix is very easy to assemble, Thus this approach greatly reduces the computational complexity of the discretisation compared to the continuous approach. We conduct a stability and consistency analysis making use of the unified framework set out in Arnold et. al. [2001]. We also give an apriori analysis of the method. The analysis applies to any consistent representation of the finite element Hessian, thus is applicable to the previous works making use of continuous Galerkin approximations.

研究の動機と目的

• 変分的構造を有しない第二順階非変分的楕円型問題に対して、計算的に効率的な不連続ガレルキン法を開発すること。標準的な有限要素法は、このような問題に対して変分的構造が欠落しているため失敗する。
• グローバルL²射影に起因する密行列を生じる連続ガレルキン手法の高い計算コストを克服すること。
• NVFEMフレームワークを不連続ガレルキン設定へと拡張するために、ヘッセ行列の近似を不連続な混合変数として再定式化し、スパース行列の構築を可能にすること。
• Arnoldら（2001）の統一的DGフレームワークを用いて、係数行列の強制性仮定の下で安定性と収束解析を確立すること。
• 標準的なH^3またはH^2正則性を満たさない不規則な解に対しても、数値的に最適収束速度を示すこと。

提案手法

• 非変分的問題を混合系として扱い、有限要素ヘッセ行列を不連続な補助変数として導入する混合定式化を提案する。
• 不連続ガレルキンフレームワークを用いて弱形式を導出し、要素界面におけるヘッセ変数に数値フラックスを適用する。
• システム行列は局所的に構築され、標準的なDG剛性行列と同一のサイズとスパarsityパターンを維持する。
• Arnoldら（2001）の統一的DGフレームワークを用いて安定性と一貫性を解析し、係数行列Aに対する強制性仮定を用いる。
• 任意の一貫性のある有限要素ヘッセ行列の表現に対応可能であり、従来の連続ガレルキン手法と互換性を持つ。
• 数値実験ではDune有限要素パッケージを用い、さまざまな正則性条件の下での収束速度を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非変分的有限要素法を不連続ガレルキンフレームワークに拡張することで、計算複雑性を低減できるか？
• RQ2 強制性仮定の下で、DG定式化が非変分的問題に対し最適収束速度を保持するか？
• RQ3 u ∈ H^2(Ω) だが H^3(Ω) でないような正則性が低い解に対し、本手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ4 解析的枠組みがより高い正則性を仮定している場合でも、破れたソボレフノルムにおける最適収束が達成可能か？
• RQ5 連続的NVFEMと比較して、DGアプローチのシステムのスパarsityおよび行列構築における計算的利点は何か？

主な発見

• DG定式化により、標準DG法と同等のスパース線形系が得られ、連続的NVFEMにおける密行列と比較して計算コストが顕著に低減される。
• H^{k+3}(Ω) に属する解に対して、dGノルム ‖·‖_{dG,1} において最適収束速度 k+1 が達成される。数値的証拠により、u ∈ H^2(Ω) だが H^3(Ω) でない場合にも最適収束が観察される。
• |x−½|² ≤ 1/8 のとき u(x) = ½(cos(8π|x−½|²)+1) で与えられる解に対して、2次要素（k=2）を用いた場合、dG,1ノルムにおいて収束速度約1.998を達成する。
• H^1(Ω) に属するが H^2(Ω) に属さない解、例えば u(x) = 100x₁(1−x₁)x₂(1−x₂)/|x| の場合、期待通りに部分的収束となるが、本手法は適切に定義され、安定である。
• 非強制的演算子に対しても、L²およびdG,1ノルムの両方で最適収束が達成され、解析的枠組みを越えたロバストネスを示す。
• 数値結果により、複数のメッシュ細分化において最適収束速度が維持され、k=2のときdG,1ノルムでEOC値が2.0に近づき、k=1では1.998に近づくことが確認された。