[論文レビュー] Discontinuous Galerkin Methods for the Biharmonic Problem on Polygonal and Polyhedral Meshes

Zhaonan Dong|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 34被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、一般の多角形・多面体メッシュ上で、参照要素への写像を用いず、物理座標系における多項式基底 $\mathcal{P}_p$ を用いた $hp$-バージョン対称内部ペナルティ不連続ガラーキン有限要素法（DGFEM）を、双曲型問題に適用する。この手法は、任意の面数を持つ多角的要素上での調和多項式に対する新しい逆不等式のおかげで、退化した面を含む場合でも最適収束率と安定性を達成する。

ABSTRACT

We introduce an $hp$-version symmetric interior penalty discontinuous Galerkin finite element method (DGFEM) for the numerical approximation of the biharmonic equation on general computational meshes consisting of polygonal/polyhedral (polytopic) elements. In particular, the stability and $hp$-version a-priori error bound are derived based on the specific choice of the interior penalty parameters which allows for edges/faces degeneration. Furthermore, by deriving a new inverse inequality for a special class {of} polynomial functions (harmonic polynomials), the proposed DGFEM is proven to be stable to incorporate very general polygonal/polyhedral elements with an \emph{arbitrary} number of faces for polynomial basis with degree $p=2,3$. The key feature of the proposed method is that it employs elemental polynomial bases of total degree $\mathcal{P}_p$, defined in the physical coordinate system, without requiring the mapping from a given reference or canonical frame. A series of numerical experiments are presented to demonstrate the performance of the proposed DGFEM on general polygonal/polyhedral meshes.

研究の動機と目的

• 一般の多角的メッシュ上で、双曲型方程式に対する安定的かつ最適収束性を示す $hp$-バージョン不連続ガラーキン法の開発。
• 要素形状や面数の制限を排除し、$(d-k)$次元の退化した面を含む場合でも、最適収束性を維持すること。
• 仮定 5.1 を満たす多角的要素上における調和多項式に対する新しい逆不等式を確立し、任意の面数を持つ要素において $p=2,3$ の場合の安定性を実現すること。
• 高々面数が多く、任意の要素形状を持つメッシュ上でも、数値実験を通じて手法の頑健性を示すこと。
• 写像を用いない不連続な物理座標系多項式基底 $\mathcal{P}_p$ を用いた $H^2$-連続問題における $hp$-適応のためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 物理座標系に直接定義された $\mathcal{P}_p$-型多項式基底を用い、参照要素への写像を回避する。
• 安定性を保証するように適切に選ばれたペナルティパラメータを用いた、対称内部ペナルティ式を採用し、多角的要素の退化した面に対しても安定性を確保する。
• 任意の面数を持つ多角的要素上での調和多項式に対する新しい逆不等式を導出し、$H^1$-半ノルムを $L^2$-ノルムで上から抑えられるようにする。これは、任意の面数を持つ要素において安定性を確保する上で不可欠である。
• 2つのメッシュ仮定に依拠する解析：面数が一様に有界である（仮定 4.1）と、任意の面数を許容する（仮定 5.1）の2つ。後者には、新しい逆不等式が必要である。
• 両仮定の下で、安定性と最適収束性が証明され、収束率は DG-ノルムで $\mathcal{O}(h^{p-1})$、破壊的 $H^1$-半ノルムで $\mathcal{O}(h^p)$、$L^2$-ノルムで $p \geq 3$ の場合 $\mathcal{O}(h^{p+1})$ となる。
• 数値実験により、理論的誤差境界が正当化され、8,000 個を超える要素と要素あたり数100個の面を持つメッシュでも安定性が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の多角形／多面体メッシュ上で、退化した面を含む場合に、対称内部ペナルティ DGFEM が双曲型問題に対して最適 $hp$-収束性を達成できるか？
• RQ2 任意の面数を持つ多角的要素上で、$p=2,3$ の $\mathcal{P}_p$-ベース DGFEM が安定化可能か？
• RQ3 仮定 5.1 を満たす多角的要素上における調和多項式に対する新しい逆不等式が、最小限のメッシュ仮定のもとで、このような DGFEM の安定性と収束性を支えることができるか？
• RQ4 非常に不規則なメッシュ、特に多数の小さな面を持つメッシュ上での数値的性能（条件数や収束率）はいかがなっているか？
• RQ5 一般の多角的要素上では、写像を用いない物理座標系多項式基底 $\mathcal{P}_p$ を用いることで、$\mathcal{Q}_p$ 基底よりも1自由度あたりの収束性が向上するか？

主な発見

• 提案された $hp$-バージョン対称 IP-DGFEM は、メッシュを細分化するに従い、すべての $p \geq 2$ に対して DG-ノルムで最適収束率 $\mathcal{O}(h^{p-1})$ を達成する。
• 破壊的 $H^1$-半ノルム誤差は、固定された $p$ に対して最適収束率 $\mathcal{O}(h^p)$ で収束する。
• $L^2$-ノルム誤差は $p \geq 3$ の場合 $\mathcal{O}(h^{p+1})$ で収束するが、$p=2$ の場合は $\mathcal{O}(h^2)$ となり、既知の非最適性と整合的である。
• 仮定 5.1 を満たす多角的要素上における調和多項式に対する新しい逆不等式のおかげで、任意の面数を持つ要素において $p=2,3$ の場合の安定性と最適収束性が実現された。
• 数値実験により、$h$-細分化および $p$-細分化の両方の多角的メッシュ上での理論的収束率が確認され、8,000 個を超える要素と要素あたり数100個の面を持つメッシュでも同様に成立した。
• DGFEM の条件数は、標準的なメッシュと同等の水準に保たれ、非常に不規則な多角的メッシュ（多数の小さな面を含む）でも安定性が維持された。これは、数値的頑健性を示している。