[論文レビュー] Discontinuous Galerkin schemes for a class of Hamiltonian evolution equations with applications to plasma fluid and kinetic problems

Ammar Hakim, G. W. Hammett+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2019

Magnetic confinement fusion research参考文献 41被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、プラズマ流体および運動論的系におけるハミルトニアン進化方程式に対してエネルギー保存性を保証する、混合不連続ガレルキン（DG）および連続ガレルキン（CG）スキームを提示する。この手法は、分布関数をDGで進める一方でハミルトニアンを連続部分空間に制約することでエネルギー保存性を確保し、中央フラックスを用いる場合に$L_2$ノルムとエントロピーを保存する。一方、上流フラックスを用いる場合、安定性を確保するための単調減少を示す。

ABSTRACT

In this paper we present energy-conserving, mixed discontinuous Galerkin (DG) and continuous Galerkin (CG) schemes for the solution of a broad class of physical systems described by Hamiltonian evolution equations. These systems often arise in fluid mechanics (incompressible Euler equations) and plasma physics (Vlasov--Poisson equations and gyrokinetic equations), for example. The dynamics is described by a distribution function that evolves given a Hamiltonian and a corresponding Poisson bracket operator, with the Hamiltonian itself computed from field equations. Hamiltonian systems have several conserved quantities, including the quadratic invariants of total energy and the $L_2$ norm of the distribution function. For accurate simulations one must ensure that these quadratic invariants are conserved by the discrete scheme. We show that using a discontinuous Galerkin scheme to evolve the distribution function and ensuring that the Hamiltonian lies in its continuous subspace leads to an energy-conserving scheme in the continuous-time limit. Further, the $L_2$ norm is conserved if central fluxes are used to update the distribution function, but decays monotonically when using upwind fluxes. The conservation of density and $L_2$ norm is then used to show that the entropy is a non-decreasing function of time. The proofs shown here apply to any Hamiltonian system, including ones in which the Poisson bracket operator is non-canonical (for example, the gyrokinetic equations). We demonstrate the ability of the scheme to solve the Vlasov--Poisson and incompressible Euler equations in 2D and provide references where we have applied these schemes to solve the much more complex 5D electrostatic and electromagnetic gyrokinetic equations.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン進化方程式の数値スキームを構築し、特にエネルギーと$L_2$ノルムといった主要な物理的不変量を保存することを目的とする。
• 分布関数にDGを、ハミルトニアンにCGを組み合わせることで、連続時間極限においてエネルギー保存性を確保することを目的とする。
• 異なる数値フラックス選択（中央対照 vs. 上流）の下での$L_2$ノルムおよびエントロピーの保存性を分析することを目的とする。
• 2次元におけるバーチャル・ワルツおよびダブルシェア・フローといったベンチマーク問題に対して、スキームの頑健性と精度を示すこと。
• 高次元5次元ギャロキティック系の高精度なシミュレーションを可能にする、保存性・効率性・拡張性に優れたフレームワークを提供すること。

提案手法

• 混合DG/CV（連続ガレルキン）式を用い、分布関数はDGで進化させ、ハミルトニアンは連続部分空間に射影することでエネルギー保存性を確保する。
• スキームはハミルトニアン進化方程式$\partial_t f + \{f, H\} = 0$を、ヤコビアンと位相空間速度を用いて保存則形式に再定式化することで導出される。
• 要素界面に数値フラックスを適用する：中央フラックスでは$L_2$ノルムとエントロピーが保存され、上流フラックスではグリッドスケールの安定性を確保するための単調な$L_2$ノルム減少を誘発する。
• 本手法は2次元におけるVlasov–Poisson方程式および非圧縮性Euler方程式に適用され、スペクトル要素型の基底関数と自動コード生成が用いられる。
• エネルギー保存性は、位相空間移流の幾何的構造がエネルギー等高線と相対的に保たれるため、フラックスの種別に依存せずに証明可能である。
• Gkeyllコードベースに実装されており、バージョン管理された入力ファイルとcondaベースのデプロイメントにより完全に再現可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正則なポisson括弧を持つハミルトニアン系において、不連続ガレルキンスキームを設計し、エネルギー保存性を確保できるか？
• RQ2 DGスキームにおける中央フラックスの使用が、分布関数の$L_2$ノルムとエントロピーを保存するか？
• RQ3 上流化が$L_2$ノルム保存性に与える影響は何か？また、小スケール構造の安定化に果たす役割は？
• RQ4 複雑な5次元プラズマ系において、主要な不変量を保存しつつ、高次精度と効率性を維持できるか？
• RQ5 多項式次数が、長時間シミュレーションにおける精度と計算コストに与える影響は？

主な発見

• スキームは、フラックスの種別にかかわらず、連続時間極限において時間積分スキームの精度に従って全エネルギーを保存する。
• 中央フラックスを用いる場合、分布関数の$L_2$ノルムは保存され、上流フラックスを用いる場合、単調に減少することで安定性が保証される。
• $L_2$ノルムと粒子数の保存性により、エントロピーが時間とともに非減少であることが証明される。
• $p=2$（SP2）スキームは、粗いグリッドでも$p=1$（SP1）よりも高い精度と高速な実行時間を達成しており、パフォーマンスの最適点を示している。
• バーチャル・ワルツおよびダブルシェア問題のシミュレーションでは、エネルギーと$L_2$ノルムの保存性が優れており、細かいグリッドでも位相誤差が最小限に抑えられる。
• 本手法は5次元静電的および磁気的ギャロキティック方程式へも成功裏に拡張され、高次元プラズマ問題へのスケーラビリティを示している。