[論文レビュー] Discorrelation between primes in short intervals and polynomial phases

Kaisa Matomäki, Xuancheng Shao|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、短区間におけるvon Mangoldt関数の指数和が多項式位相と相関しない（discorrelated）ことを示す見積もりを確立し、そのような和が小さくなるのは、多項式位相が小さな分母をもつ定数に近い場合に限ることを示している。主な結果は、区間長 $ H = N^\theta $ の範囲を $ \theta > 2/3 $ まで拡張し、Waring-Goldbach問題の短区間版を、従来の結果よりも変数を減らして得ることを可能にする。

ABSTRACT

Let $H = N^θ, θ> 2/3$ and $k \geq 1$. We obtain estimates for the following exponential sum over primes in short intervals: \[ \sum_{N < n \leq N+H} Λ(n) e(g(n)), \] where $g$ is a polynomial of degree $k$. As a consequence of this in the special case $g(n) = αn^k$, we deduce a short interval version of the Waring-Goldbach problem.

研究の動機と目的

• 短区間 $ H = N^\theta $ における指数和 $ \sum_{N < n \leq N+H} \Lambda(n) e(g(n)) $ の鋭い見積もりを確立すること、ここで $ g $ は次数 $ k $ の多項式である。
• このような和が小さくなる（相関がない）範囲である $ \theta $ の範囲を拡張し、位相が「メジャーアーク」の場合に限る。
• 改善された指数和見積もりを応用し、従来の結果よりも変数を減らした短区間版のWaring-Goldbach問題を導出すること。
• 単項式 $ \alpha n^k $ に対する結果を一般多項式位相 $ g(n) $ に一般化し、Möbius関数に対しても同様の解析を拡張すること。

提案手法

• 円法を用いて指数和をメジャーアークとマイナーアークに分解し、メジャーアークは先導係数の有理近似によって定義される。
• 最近解決されたVinogradovの平均値定理を用いて、マイナーアーク上での指数和の $ L^{2t} $-ノルムを制御する。
• 双線形形式の手法とWトリックを用いて、短区間におけるvon Mangoldt関数を扱う。
• 鍵となる転送型見積もりの確立：和が大きいならば、先導係数 $ \alpha_k $ は小さな分母を持つ有理数でよく近似可能である。
• Huxleyのゼロ密度推定を用いて、算術級数における素数定理を用いてメジャーアーク寄与を制御する。
• Green-Taoの相関なし枠組みを短区間設定に適応し、多項式位相に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 短区間 $ (N, N+H] $ における $ \Lambda(n) e(\alpha n^k) $ の指数和が小さくなる $ \theta $ の範囲を、$ \theta > 19/24 $ を超えて拡張できるか。
• RQ2 どのような条件下で和 $ \sum_{N < n \leq N+H} \Lambda(n) e(\alpha n^k) $ が小さくならず、そのような場合をどのように分類できるか。
• RQ3 Waring-Goldbach問題を $ \theta > 2/3 $ で短区間で解けるか。また、必要な変数の数はどれくらいか。
• RQ4 すべての次数 $ k $ の多項式について、素数と多項式位相の間の相関なしが一様に成り立つか。
• RQ5 Möbius関数に対しても、短区間で同様の相関なし見積もりを確立できるか。

主な発見

• 区間長 $ H = N^\theta $ で $ \theta > 2/3 $ のとき、和 $ \left| \sum_{N < n \leq N+H} \Lambda(n) e(\alpha n^k) \right| $ は、ある小さな $ q \leq (\log N)^{O_k(A)} $ に対して $ \| q\alpha \| \leq (\log N)^{O_k(A)} / (N^{k-1} H) $ でない限り、$ \ll H / (\log N)^A $ である。
• この $ \alpha $ の条件は、位相 $ \alpha n^k $ が $ q $ を法として区間 $ (N, N+H] $ 上でほぼ定数であることを意味し、これはメジャーアークの場合に対応する。
• 主な結果により、短区間版のWaring-Goldbach問題が得られる：十分に大きな $ N \equiv s \pmod{R(k)} $ で $ s \geq k(k+1)+3 $ かつ $ \theta > 2/3 $ を満たす場合、$ N $ は $ (N/s)^{1/k} $ から $ N^{\theta/k} $ の範囲内で $ s $ 個の素数の $ k $ 乗和として表せる。
• 必要な変数数 $ s $ は $ k(k+1)+3 $ に改善され、Vinogradovの平均値定理の解決と組み合わせると、従来の境界を上回る。
• Möbius関数について、$ \theta > 2/3 $ のとき、すべての次数 $ k $ の多項式 $ g $ に対して、$ \sum_{N < n \leq N+H} \mu(n) e(g(n)) \ll_{k,A} H / (\log N)^A $ が一様に成り立つ。
• 解析により、$ \theta > 2/3 $ のとき、新しい指数和見積もりとVinogradovの平均値定理の組み合わせにより、マイナーアーク寄与は無視できることが示された。