[論文レビュー] Discovery of new quasicrystals from translation of hypercubic lattice

Junmo Jeon, SungBin Lee|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2021

Quasicrystal Structures and Properties被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、4次元超立方格子における平行移動が、カットアンドプロジェクション法を用いて2次元の准結晶に2重、4重、8重回転対称性を生成することを示している。4次元における並進ベクトルの分類を通じて、著者らはこうしたシフトが、射影された准結晶の回転対称性と局所的構造を直接決定することを証明し、高次元格子操作と低次元准結晶対称性との間に深い関係があることを明らかにした。

ABSTRACT

How are the symmetries encoded in quasicrystals? As a compensation for the lack of translational symmetry, quasicrystals admit non-crystallographic symmetries such as 5- and 8-fold rotations in two-dimensional space. It is originated from the extended crystallography group of high-dimensional lattices and projection onto the physical space having a finite perpendicular window. One intriguing question is : How does the translation operation in high-dimension affect to the quasicrystals as a consequence of the projection? Here, we answer to this question and prove that a simple translation in four-dimensional hypercubic lattice completely determines a distinct rotational symmetry of two-dimensional quasicrystals. In details, by classifying translations in four-dimensional hypercubic lattice, new types of quasicrystals with 2,4 and 8-fold rotational symmetries are discussed. It gives us an important insight that a translation in high-dimensional lattice is intertwined with a rotational symmetry of the quasicrystals. In addition, regarding to the multi-frequency driven systems, it provides a unique way to discover new quasicrystals projected from the high-dimensional Floquet lattice.

研究の動機と目的

• 高次元格子における並進操作が、射影された准結晶の回転対称性に与える影響を調査すること。
• 非結晶学的対称性を示す特徴的な准結晶構造を生成する4次元超立方格子内の並進ベクトルを分類すること。
• 高次元格子の並進と2次元准結晶における新しい局所的パターンおよび回転対称性の出現との間の直接的対応関係を確立すること。
• 並進誘導による対称性制御を用いて、新しい准結晶タイリングパターンを体系的に発見する手法を提供すること。
• 高次元格子の射影を通じて、多頻度駆動系や光学格子における准結晶形成の理解を拡張すること。

提案手法

• 4次元超立方格子の点を2次元物理空間にカットアンドプロジェクション方式（CPS）で射影し、垂直方向の窓が射影を定義する。
• 具体的に γ = ½(1,1,1,1)、½(1,0,1,0)、½(1,0,0,0)、½(1,1,0,0) の離散的並進ベクトルを用いて、特徴的な准結晶パターンを生成する。
• Wigner-Seitz細胞の垂直空間（π⊥）への射影を分析し、射影された准結晶の対称性と局所的構造を特定する。
• 2重、4重、8重対称性を持つ准結晶と、任意の有理数比の共通分母を持つ並進（例：γ = (1/2, 1/3, 1/4, 1/5)）から生じる非対称な准結晶を比較する。
• π⊥-射影画像を用いて、准結晶内に現れる新しい局所的パターンに対応する領域を同定し、特に対角線上に顕在するパターンに注目する。
• πおよびπ⊥射影の両方の対称性解析を用いて、准結晶内の回転対称性が高次元格子構造に由来することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元超立方格子における並進は、射影された2次元准結晶の回転対称性にどのように影響するか？
• RQ2 4次元において、どの特定の並進ベクトルが、准結晶に2重、4重、8重回転対称性を生じさせるか？
• RQ3 准結晶の局所的構造、特に対角線上に現れる新しいパターンは、格子窓のπ⊥-射影とどのように関係しているか？
• RQ4 なぜ特定の並進はグローバルな回転対称性を保つが、他の並進は非対称な准結晶パターンを生じるのか？
• RQ5 制御された格子並進を用いて、カットアンドプロジェクション法を体系的に応用し、新しい准結晶タイリングを発見できるか？

主な発見

• 4次元超立方格子における並進 γ = ½(1,1,1,1) は、アムマン＝ビンカー準結晶に対応する8重回転対称性を持つ准結晶を生成する。
• 並進 γ = ½(1,0,1,0) は、標準的なアムマン＝ビンカー構造とは異なる4重回転対称性を持つ准結晶を生成する。
• 並進 γ = ½(1,0,0,0) および γ = ½(1,1,0,0) は、2重回転対称性を持つ准結晶を生成し、低対称性の並進でも構造的パターンが得られることを示している。
• これらの准結晶のπ⊥-射影画像は、物理空間への射影と同一の回転対称性を示しており、対称性の高次元起源を確認している。
• 准結晶内に現れる新しい局所的パターン（特に対角線上に顕在）は、π⊥-射影画像の緑色領域と直接関連しており、特に γ = ½(1,1,1,1)、½(1,0,1,0)、½(1,0,0,0) の場合に顕著である。
• 任意の有理数比の共通分母を持つ並進（例：γ = (1/2, 1/3, 1/4, 1/5)）は、グローバルな回転対称性を持たない非対称な准結晶を生成し、そのπ⊥-射影図も非対称である。これは、対称的な結果を得るには特定の並進ベクトルが必要であることを確認している。