[論文レビュー] Discrepancy of generalized Hammersley type point sets in Besov spaces of dominating mixed smoothness

Lev Markhasin|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2011

Mathematical Approximation and Integration参考文献 19被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、支配的混合滑らかさを有する2次元空間におけるディスcrepancy関数のベソフノルムの漸近的最適レートを達成する広範な一般化ハマークリー型点集合のクラスを確立している。b進一般化ハール系を用いて、著者はこれらの点集合が既知のベソフ quasi-ノルムに対する下界に一致することを証明し、この関数空間設定における最適性を確認した。

ABSTRACT

The symmetrized Hammersley point set is known to achieve the best possible rate for the $L_2$-norm of the discrepancy function. Also lower bounds for the norm in Besov spaces of dominating mixed smoothness are known. In this paper a large class of point sets which are generalizations of the Hammersley type point sets are proved to asymptotically achieve the known lower bound of the Besov norm. The proof uses a $b$-adic generalization of the Haar system. This result can be regarded as a preparation for the proof in arbitrary dimension.

研究の動機と目的

• 支配的混合滑らかさを有するベソフ空間におけるディスクリパニーサンプル関数の既知の下界と達成可能な上界の間のギャップを埋める。
• 古典的な対称化ハマークリー集合にとどまらない、より広範な一般化構成へのハマークリー型点集合に関する先行研究を拡張する。
• 2次元問題における$L_2$-ディスクリパニーサンプルとベソフノルム設定において、これらの一般化点集合の漸近的最適性を確立する。
• 同じ手法的戦略を用いて任意次元への拡張を可能にする基盤的な枠組みを提供する。

提案手法

• ディスクリパニーサンプル関数の滑らかさおよび局所化特性を分析するために、古典的ハールウェーブレット系のb進一般化が用いられる。
• ディスクリパニーサンプル関数は、フーリエ領域における滑らかなユニット分割を用いて定義されるdyadic周波数射影を用いて分解される。
• ベソフ空間$S_{pq}^rB(I^2)$におけるディスクリパニーサンプル関数のquasi-ノルムは、異なるスケールにおけるウェーブレット係数の$L_p$-ノルムを分析することで推定される。
• 一般化を高次元に拡張する前に、この手法の妥当性を確認するため、次元$d=2$に制限される。
• 点数および一般化ハマークリー集合の構造に基づく境界を用いて、ディスクリパニーサンプル関連のウェーブレット係数$\mu_{jm\ell}$の推定値が得られる。
• ベソフ空間とトライベル＝リツォルキン空間の間の埋め込み定理が適用され、支配的混合滑らかさを有するトライベル＝リツォルキン空間への結果の拡張がなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化ハマークリー型点集合は、支配的混合滑らかさを有する2次元空間におけるディスクリパニーサンプル関数の既知の下界を、ベソフ quasi-ノルムで達成するか？
• RQ2 b進ハール系を用いることで、これらの関数空間におけるディスクリパニーサンプル関数の鋭い漸近的推定値が達成可能か？
• RQ3 対称化ハマークリー点集合は、ベソフノルムで最適ディスクリパニーサンプルレートを達成するより広い点集合クラスに属するか？
• RQ4 これらの一般化点集合に対して、ディスクリパニーサンプル関数のベソフノルムの正確な漸近的挙動は何か？
• RQ5 埋め込み定理を用いて、支配的混合滑らかさを有するトライベル＝リツォルキン空間への結果の拡張はどのように行われるか？

主な発見

• 一般化ハマークリー型点集合は、既知の下界$\|D_{\mathcal{P}}|S_{pq}^rB(I^2)\|$を達成し、漸近的最適性が確認された。
• 任意の整数$b \geq 2$に対して、一般化ハマークリー集合$\mathcal{R}_n$のディスクリパニーサンプルノルムは$\|D_{\mathcal{R}_n}|S_{pq}^rB(I^2)\| \leq c_2 \, b^{n(r-1)} \, n^{1/q}$を満たし、下界レートと一致する。
• 上界はb進ハール系を用いて導出され、dyadicスケールにわたるウェーブレット係数の減衰を精密に制御可能である。
• この結果により、古典的な対称化ハマークリー集合が最適$L_2$-ディスクリパニーサンプルを達成する唯一の集合ではないことが確認された。その一般化も、ベソフノルムにおいて同様の性質を有する。
• この手法は、任意次元への拡張への道筋を提供し、2次元ケースがその妥当性を検証する重要なテストベッドとなる。
• 埋め込みを介してトライベル＝リツォルキン空間へも拡張可能であり、$S_{pq}^rF(I^2)$およびSobolev型空間$S_p^rH(I^2)$に対しても同様の最適レートが得られる。