[論文レビュー] Discrete Adjoints for Accurate Numerical Optimization with Application to Quantum Control

N. Anders Petersson, Fortino Garcia+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 20被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、時間発展演算子としてシンプレクティックな Störmer-Verlet 法を用い、整合性のある離散アドジョイントスキームにより正確な勾配を計算することで、量子制御における高精度な数値最適化のための離散アドジョイント法を提示する。この手法により、制御パラメータ数に依存しない計算コストで、超伝導クイディットにおける制御パルスの最適化が可能となり、L-BFGS および IPOPT を用いたシミュレーションにより検証された。

ABSTRACT

This paper considers the optimal control problem for realizing logical gates in a closed quantum system. The quantum state is governed by Schrodinger's equation, which we formulate as a time-dependent Hamiltonian system in terms of the real and imaginary parts of the state vector. The system is discretized with the Stormer-Verlet scheme, which is a symplectic partitioned Runge-Kutta method. Our main theoretical contribution is the derivation of a compatible time-discretization of the adjoint state equation, such that the gradient of the discrete objective function can be calculated exactly, at a computational cost of solving two Schrödinger systems, independently of the number of parameters in the control functions. A parameterization of the control functions based on B-splines with built-in carrier waves is also introduced. The carrier waves are used to specify the frequency spectra of the control functions, while the B-spline functions specify their envelope and phase. This approach allows the number of control parameters to be independent of, and significantly smaller than, the number of time steps for integrating Schrodinger's equation. We consider Hamiltonians that model the dynamics of a superconducting multi-level qudit and present numerical examples of how the proposed technique can be combined with the interior point L-BFGS algorithm from the IPOPT package for realizing quantum gates. In a set of test cases, the proposed algorithm is shown to compare favorably with QuTiP/pulse_optim and Grape-Tensorflow.

研究の動機と目的

• 高精度でデコherenceを最小限に抑えた超伝導クイディットにおける量子ゲートの制御パルス最適化の課題に対処すること。
• 時間に依存するシュレーディンガー方程式に従う最適制御問題における数値的に正確な勾配計算手法を開発すること。
• 時間積分において長期間にわたる数値的精度とシンプレクティック構造の保存を確保するとともに、効率的な勾配評価を可能にすること。
• 埋め込まれたキャリア波を有する B スプラインパラメータ化により、時間ステップ数に比して制御パラメータ数を削減すること。
• 時間積分における時間ステップ数と最適化変数の数を分離することで、スケーラブルな最適化を実現すること。

提案手法

• 状態ベクトルの実部と虚部を用いて、シュレーディンガー方程式を時間に依存するハミルトニアン系として定式化する。
• シンプレクティックな分割ルンゲ＝クッタ法である Störmer-Verlet スキームを用いて状態方程式を離散化し、幾何的構造を保存する。
• 時間に依存する行列を修正された時間レベルで評価する、アドジョイント方程式の整合性のある離散アドジョイントスキームを導出する。
• キャリア波を内蔵した B スプラインパラメータ化を導入し、周波数スペクトルを制御しながら最適化変数の数を削減する。
• 制御パラメータ数に依存せず、唯一2つのシュレーディンガー系を解くことで、目的関数の離散勾配を正確に計算する。
• IPOPT パッケージに内蔵された内点法 L-BFGS と離散アドジョイント法を組み合わせ、効率的な最適化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存するハミルトニアン系に離散アドジョイント法を一般化する方法は何か？ その際、シンプレクティック構造を保存できるか？
• RQ2 状態方程式が Störmer-Verlet 法で解かれる場合、時間離散化されたアドジョイント方程式に対する整合性のある離散アドジョイントスキームは何か？
• RQ3 キャリア波を内蔵した B スプラインパラメータ化は、スペクトル制御を損なわせることなく、制御パラメータ数をどのように削減できるか？
• RQ4 離散アドジョイント法を用いた正確な勾配計算の計算コストは何か？ また、時間ステップ数やパラメータ数にどのように依存するか？
• RQ5 QuTiP/pulse_optim や Grape-TensorFlow といった既存の量子最適制御ツールと比較して、本手法の性能と精度はどのように異なるか？

主な発見

• 離散アドジョイント法により、制御パラメータ数に依存せず、唯一2つのシュレーディンガー系を解くことで、離散目的関数の正確な勾配計算が可能である。
• 整合性のある離散アドジョイントスキームは、時間積分のシンプレクティック構造を保存し、状態およびアドジョイント軌道の長期間にわたる数値的精度を保証する。
• キャリア波を内蔵した B スプラインパラメータ化により、制御パルスのエンベロープ、位相、周波数スペクトルを独立して制御でき、最適化変数の数を顕著に削減できる。
• 多準位超伝導クイディットを用いた数値実験では、本手法が QuTiP/pulse_optim や Grape-TensorFlow を上回る収束速度とゲート忠実度を達成した。
• 励起状態への漏れを低減させながら、高忠実度の量子ゲート実装が可能となり、近い将来の量子コンピューティングにとって重要である。
• 勾配計算は効率的かつスケーラブルであり、計算コストが制御パラメータ数に依存しないため、大規模最適化が可能である。