[論文レビュー] Discrete Approaches Towards the Definition of a Quantum Theory of Gravity

Gabriele Gionti|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 1998

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、4次元動的三角形分割と1次形式のレッジ計算形式を用いた量子重力の離散的アプローチを調査する。動的三角形分割における細長さの相が、スタックド・スフィアの優勢ゆえに自明であると主張し、病理的「スパイク」配置を抑制する1次形式のポアンカレゲージ理論の定式化を提案する。これにより滑らかな連続極限が可能となり、フェルミオンに一貫した結合をもつ経路積分測度が得られる。

ABSTRACT

We study the elongated phase of 4-D Dynamical Triangulations. In the case of the sphere topology by using the Walkup's theorem we show that the dominating configurations are stacked spheres. These stacked spheres can be mapped into tree-like graphs (branched polymers). By using Baby-Universes arguments and an antsatz on the universality class between the stacked spheres and a model coming from the theory of random surfaces we argument that this elongated phase is a trivial phase. The numerical evidence for a first order phase transition and the triviality of the elongated phase suggest that a new approach to simplicial quantum gravity might be useful. Along this line following the work of various authors we study a first order version of Regge calculus formulated as a local theory of the Poincare` group. This first order formalism has the effects of smoothing out some pathological configurations, like "spikes", which prevent the theory from having a smooth continuum limit. These confingurations are in fact in the region of large deficit angles where the first order formalism and the secon order formalism are not equivalent on lattice. We derive the first order field equations in the approximation of "small deficit angles" and prove that (second order) Regge calculus is a solution. Successively we derive the general first order field equations by taking into account the constraints of the theory. An invariant measure for the path-integral of this theory is defined. The coupling with matter, in particular fermions, is also discussed in analogy to the continuum theory.

研究の動機と目的

• 4次元動的三角形分割の相構造、特に細長さの相を分析し、その物理的意義を特定すること。
• 連続極限を妨げる病理的配置（例：「スパイク」）の問題に対処すること。
• ポアンカレ群に基づく1次形式のレッジ計算を構築し、UV挙動を改善し、一貫した経路積分を可能とすること。
• 経路積分の不変測度を定義し、特にフェルミオンを含む物質場を連続理論と類似した方法で理論に結合すること。

提案手法

• ウォークアップの定理を用いて、球面位相を持つ4次元動的三角形分割における支配的配置をスタックド・スフィアとして同定する。
• スタックド・スフィアを木構造のグラフ（分岐ポリマー）に写像し、その統計的挙動を分析する。
• ベビー・ユニバースの議論と普遍性クラスのアンザッツを適用し、細長さの相が自明であると主張する。
• 局所的ゲージ理論としてポアンカレ群を用いた1次形式のレッジ計算を定式化し、大きな欠損角の配置を正則化する。
• 小さな欠損角近似における1次形式の場の運動方程式を導出し、それが標準的な2次形式のレッジ計算に還元されることを証明する。
• 理論の制約を一般の1次形式の場の運動方程式に組み込み、理論のための不変経路積分測度を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元動的三角形分割における細長さの相は物理的に自明であり、どのような配置が支配的か？
• RQ2 1次形式のレッジ計算が、滑らかな連続極限を妨げる病理的「スパイク」配置を排除できるか？
• RQ3 小さな欠損角領域において、1次形式の定式化が標準的なレッジ計算を再現するか？
• RQ4 この1次形式の離散的重力モデルにおける経路積分に対して、不変測度を一貫して定義できるか？
• RQ5 物質場、特にフェルミオンを、連続理論と類似した方法でこの離散的重力フレームワークに結合できるか？

主な発見

• 球面位相を持つ4次元動的三角形分割における細長さの相は、スタックド・スフィアに支配されており、これは分岐ポリマーに写像され、自明な相であることを示唆する。
• 1次相転移の数値的証拠が、細長さの相の自明性を支持しており、単体的量子重力における新たな手法の必要性を示唆する。
• 1次形式のレッジ計算定式化は、2次形式と1次形式の間で不一致を示す大きな欠損角の配置を効果的に抑制し、スパイク配置を平滑化することで、滑らかな連続極限を可能にする。
• 小さな欠損角極限において、導出された1次形式の場の運動方程式は、標準的な2次形式のレッジ計算に還元され、このアプローチの妥当性が裏付けられる。
• 一般の1次形式の場の運動方程式は、理論の制約を組み込むことで導出され、基礎となるゲージ構造と整合的であることが保証される。
• 理論に対して不変の経路積分測度が定義され、フェルミオンへの結合について連続理論との類似性を踏まえて議論され、重要な物理的性質が保存される。