[論文レビュー] Discrete approximation and regularisation for the inverse conductivity problem

Luca Rondi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 32被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ノイズレベルに応じて正則化パラメータと離散化パラメータを同時に調整することにより、不連続な導電率を伴う逆導電率問題における離散的正則化解の収束を確立する。全変動正則化と有限要素離散化を用い、ノイズが消えるとき解が真の導電率に収束することを証明するが、その条件として離散化パラメータhがノイズレベルに対して多項式的に減少する必要がある。

ABSTRACT

We study the inverse conductivity problem with discontinuous conductivities. We consider, simultaneously, a regularisation and a discretisation for a variational approach to solve the inverse problem. We show that, under suitable choices of the regularisation and discretisation parameters, the discrete regularised solutions converge, as the noise level on the measurements goes to zero, to the looked for solution of the inverse problem.

研究の動機と目的

• 不連続な導電率を伴う逆導電率問題の不安定性と悪条件性に対処すること。
• ノイズレベルに応じて正則化パラメータと離散化パラメータを調整した場合に、離散的正則化解の収束を厳密に正当化すること。
• 固定された正則化と離散近似を用いるのではなく、正則化と離散化を同時に分析することで、文献における空白を埋めること。
• 不連続解を伴う逆導電率問題における数値的手法の理論的基盤を提供すること。
• 変分収束技術（Γ収束）を、有限要素近似を含む完全な離散設定に拡張すること。

提案手法

• Tikhonov型正則化を用いた形 min_σ ||Λ(σ) - ˆΛ||_Y + a R(σ) として、逆導電率問題を変分最小化問題として定式化する。
• 正則化汎関数として全変動（TV）正則化を採用し、R(σ) = ∫_Ω |∇σ| とし、区分的滑らかさを促進する。
• 正則三角形分割を用いた標準的な連続的線形有限要素法により、導電率空間を離散化する。
• ノイズレベルεの関数として正則化パラメータaと離散化パラメータhの両方を定める、連携パラメータ選択を導入する。
• ε → 0 の極限における離散的正則化汎関数の挙動を分析するために、Γ収束技術を用いる。
• 正則化のモデルとしてMumford-Shah汎関数のAmbrosio-Tortorelli近似を採用し、それを離散的有限要素設定に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則化パラメータと離散化パラメータをノイズレベルに合わせて調整した場合、離散的正則化解は真の逆導電率問題の解に収束するか？
• RQ2 収束を保証するために、離散化パラメータhをノイズレベルεに対してどの程度の速度で減少させる必要があるか？
• RQ3 全変動正則化と有限要素離散化を組み合わせることで、安定的かつ収束する数値解が得られるか？
• RQ4 正則化パラメータと離散化パラメータの連携調整が、離散的正則化解の収束に与える影響は何か？
• RQ5 Γ収束技術を、不連続解を伴う逆問題における完全な離散正則化問題の収束分析に拡張できるか？

主な発見

• ノイズレベルε → 0 のとき、適切に正則化パラメータaと離散化パラメータhを選択すれば、離散的正則化解はL¹(Ω)で真の導電率σ₀に収束する。
• 離散化パラメータhはノイズレベルεに対して多項式的に減少しなければならず、具体的にはβ > 0 を満たすある定数に対して h = O(ε^{1/β}) とすること。
• 離散的正則化解の極限はSBV(Ω)に属し、条件 ∥Λ(˜σ) - Λ(σ₀)∥_Y = 0 を満たすため、逆問題を正確に解く。
• N = 2 の場合、トレース空間に関する追加の密度仮定のもとで、離散解の全列がL¹(Ω)でσ₀に収束する（部分列ではなく全列）。
• 離散的正則化汎関数Fε,hが極限汎関数F₀にΓ収束することにより収束が確立され、F₀はMumford-Shah汎関数を含む。
• 解析により、全変動正則化を伴う離散的有限要素近似が、連携パラメータ調整のもとで一貫性と安定性を有することが確認された。