[論文レビュー] Discrete Approximations and Optimal Control of Nonsmooth Perturbed Sweeping Processes

Boris S. Mordukhovich, Dao Nguyen|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2020

Optimization and Variational Analysis参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非滑らかで不連続な動的特性を有する非凸な摂動付きスイーピング過程に従う最適制御問題に対して、必要最適性条件を導出するための離散近似法を開発する。2次変分解析と離散スキームの強収束を組み合わせることで、局所最小解に対して新たなオイラー＝ラグランジュ型および最大化型の条件を確立し、非滑らかな動的特性を有する制御付き移動ロボットモデルを用いて検証する。

ABSTRACT

The main goal of this paper is developing the method of discrete approximations to derive necessary optimality conditions for a class of constrained sweeping processes with nonsmooth perturbations. Optimal control problems for sweeping processes have been recently recognized among the most interesting and challenging problems in modern control theory for discontinuous differential inclusions with irregular dynamics and implicit state constrained, while deriving necessary optimality conditions for their local minimizers have been significantly based on the smoothness of controlled dynamic perturbations. To overcome these difficulties, we use the method of discrete approximations and employ advanced tools of second-order variational analysis. This approach allows us to obtain new necessary optimality conditions for nonsmooth and nonconvex discrete-time problems of the sweeping type. Then we employ the obtained conditions and the strong convergence of discrete approximations to establish novel results for original nonsmooth sweeping control problems that include extended Euler-Lagrange and maximization conditions for local minimizers. Finally, we present applications of the obtained results to solving a controlled mobile robot model with a nonsmooth sweeping dynamics that is of some practical interest.

研究の動機と目的

• 滑らかでない、不連続なスイーピング過程に従う最適制御問題に対して、必要最適性条件を導出する課題に対処すること。
• 摂動の滑らかさに依存する従来の手法が、不規則な動的特性および暗黙的な状態制約下で失敗するという限界を克服すること。
• 離散近似と2次変分解析を用いて、非滑らかで非凸な離散時間スイーピング問題に対する堅牢なフレームワークを確立すること。
• 離散スキームの強収束を用いて、これらの離散的結果を連続時間元問題に拡張すること。
• 非滑らかなスイーピング動的特性を有する制御付き移動ロボットモデルへの応用を通じて、理論的枠組みを検証すること。

提案手法

• 連続的な最適制御問題を、有限次元の非滑らか最適化問題の系列に変換するため、離散近似法を用いる。
• 一般化微分と凸多面体の法線集合を含む、2次変分解析の高度な道具を適用する。
• 各 $ C^j $ が線形不等式によって定義される凸多面体集合 $ C = \bigcap_{j=1}^s C^j $ を用いて、状態変数に点ごとの制約を課す。
• 拡張されたオイラー＝ラグランジュ型および最大化型条件を用いて、離散問題の必要最適性条件を導出する。
• 適切な仮定の下で、離散解が連続解に強収束することを確立する。
• 離散結果を基盤として、随伴変数と境界条件を用いて連続状態における最適性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動が滑らかでなく非凸な場合に、非滑らかで摂動付きのスイーピング過程に従う最適制御問題に対して、必要最適性条件をどのように導出できるか。
• RQ2 離散近似解が元の連続的スイーピング制御問題の解に強収束するための条件は何か。
• RQ3 離散近似法を2次変分解析と組み合わせることで、不連続で単調な動的特性および暗黙的な状態制約を扱うことは可能か。
• RQ4 得られた最適性条件は、Lipschitz連続微分包含に対して古典的な最適制御理論の結果とどのように比較できるか。
• RQ5 これらの条件は、非滑らかな動的特性を有する制御付き移動ロボットのような実世界のシステムのモデル化にどのような実用的意義を持つのか。

主な発見

• 2次変分解析を用いた離散近似法により、非滑らかで非凸な離散時間スイーピング問題に対して、新たな必要最適性条件が成功裏に導出された。
• 与えられた仮定の下で、離散解が連続解に強収束することが確立され、近似手法の有効性が裏付けられた。
• 移動ロボットモデルでは、最適制御が $ (\bar{u}^1, \bar{u}^2) = (3, 1.5) $ に特定され、衝突時刻 $ t_1 \approx 0.38 $ が得られ、理論的枠組みの妥当性が確認された。
• 随伴変数 $ q(t) $ は $ (-1, -1, -\sqrt{2}, -\sqrt{2}) $ として計算され、コストレート $ p(t) $ は $ [0.38, 6] $ 上で一定であることが示され、$ t_1 $ で境界に到達していることが示された。
• ハミルトニアン最大化条件は、随伴変数 $ \gamma([t,6]) \approx (56.92, 56.92, 40.01, 40.01) $ を用いて検証され、最適性が確認された。
• 解はすべての定理6.1の必要条件を満たしており、最適解の存在が保証されていることから、計算されたペア $ (\bar{x}(\cdot), \bar{u}(\cdot)) $ が最適であると確認された。