[論文レビュー] Discrete approximations for sums of m-dependent random variables

V. Čekanavičius, P. Vellaisamy|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2013

Probability and Risk Models参考文献 31被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、化合物ポアソン、負の二項、および二項分布を用いた、m-依存な整数値をとる確率変数の和の離散的近似法を開発する。また、符号付き化合物ポアソン測度を用い、ハイネルの手法と畳み込み平滑化を用いて鋭い全 Variation 界を確立し、漸近的に最適な定数を達成する。これにより、(k₁,k₂) イベントや 2-ランなどの m-依存統計量への応用が可能になる。

ABSTRACT

Sums of of 1-dependent integer-valued random variables are approximated by compound Poisson, negative binomial and Binomial distributions and signed compound Poisson measures. Estimates are obtained for total variation and local metrics. The results are then applied to statistics of $m$-dependent $(k_1,k_2)$ events and 2-runs. Heinrich's method and smoothing properties of convolutions are used for the proofs.

研究の動機と目的

• m-依存な整数値をとる確率変数の和を、化合物ポアソン、負の二項、および二項分布で近似すること。
• 和とこれらの近似分布との間の明示的な全 Variation 距離界を導出すること。
• 階乗積率と符号付き測度を用いて、ハイネルの特徴関数法を m-依存列に拡張すること。
• 漸近的展開を構成し、標準的ポアソン近似を上回る精度を向上させること。
• 特定の統計量、例えば m-依存列における (k₁,k₂) イベントや 2-ランに結果を応用すること。

提案手法

• 和 Sₙ の分布を特徴付けるために、同時階乗モーメントと中心化階乗モーメントから導かれる階乗積率 Γ₁, Γ₂, Γ₃ を用いる。
• 特徴関数と畳み込み平滑化に基づくハイネルの手法を用いて、全 Variation 界を導出する。
• 2階モーメントを一致させるために、G = exp{Γ₁(e^{it}−1) + Γ₂(e^{it}−1)²} として符号付き化合物ポアソン測度を定義し、ポアソン近似より精度を向上させる。
• パラメータ N = ⌊Γ₁²/(2|Γ₂|)⌋ および p̄ = Γ₁/N を用い、第一および第二階乗モーメントを一致させることで二項近似を構築する。同様に、r および q̄ を階乗モーメント一致方程式を用いて負の二項近似を構築する。
• 特徴関数アプローチにおける誤差項を制御するために、平滑化技術と畳み込みの性質を用いる。
• 従属構造を扱い、積率に類似した量を計算するために、中心化階乗モーメント Ê(Y₁,…,Yₖ) の再帰的定義を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m-依存な整数値をとる確率変数の和は、制御された全 Variation 距離誤差のもとで、標準的離散分布によってどのように近似できるか？
• RQ2 このような近似の最適収束速度は何か？ 1つ以上のモーメントを一致させることで改善可能か？
• RQ3 ハイネルの手法は、m-依存列と符号付き測度を用いて、より高い精度を得るためにどのように適合可能か？
• RQ4 導出された界は、m-依存列における特定の統計量、例えば (k₁,k₂) イベントや 2-ランにどの程度適用可能か？
• RQ5 精密な誤差解析のため、近似枠組みから漸近的展開を構成可能か？

主な発見

• 和 Sₙ とその符号付き化合物ポアソン近似 G 間の全 Variation 距離は、Cm³a³(p)(n−m+1) で有界であり、m および成功確率 a(p) に明示的な依存関係を示す。
• 二項近似 Bi(N, p̄) に対して、全 Variation 誤差は Cm³a²(p)/(n−m+1) で有界であり、n が大きいほど収束が改善されることを示す。
• 負の二項近似は第一および第二階乗モーメントの一致を達成し、パラメータ r および q̄ は Γ₁ と Γ₂ を含むモーメント一致方程式により選択される。
• 2-ランおよび (k₁,k₂) イベントに対して、本手法は漸近的に鋭い定数を達成し、漸近的展開の構築を可能にする。
• 特徴関数展開における剰余項 R₁ ≤ C(n−m+1)m²a³(p) が成り立ち、誤差の増大が m と n によって制御されることを示す。
• 2-ランの例で示されるように、本手法は全 Variation 界において漸近的に最適な定数を達成し、標準的ポアソン近似を上回る性能を示す。