[論文レビュー] Discrete BF theory

Pavel Mnëv|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 34

ひとこと要約

この論文は、三角形分割または立方体分割された多様体上で、非アーベルBF理論の離散版を定式化し、無限次元の関数積分を有限次元の積分に置き換える。連続体BF理論と同等であることを確立し、ホモトピー転送を用いて離散作用が細胞コチェーン上に$qL_\infty$代数構造を生成することを示し、コhomology上の有効作用などの位相的不変量の計算を可能にする。

ABSTRACT

In this work we discuss the simplicial program for topological field theories for the case of non-abelian BF theory. Discrete BF theory with finite-dimensional space of fields is constructed for a triangulated manifold (or for a manifold equipped with cubical cell decomposition), that is in a sense equivalent to the topological BF theory on manifold. This discrete allows one to calculate interesting quantities from the BF theory, like the effective action on cohomology, in terms of finite-dimensional integrals instead of functional integrals, as demonstrated in a series of explicit examples. We also discuss the interpretation of discrete BF action as the generating function for $qL_\infty$ structure (certain one-loop version of ordinary $L_\infty$ algebra) on the cell cochains of triangulation, related to the de Rham algebra of the underlying manifold by homotopy transfer procedure. This work is a refinement of older text hep-th/0610326.

研究の動機と目的

• 三角形分割または立方体分割された多様体上で非アーベルBF理論の離散的定式化を開発すること。
• 位相的BF理論における関数積分を、計算可能な結果を得るための有限次元積分に置き換えること。
• 離散BF作用と細胞コチェーン上の$qL_\infty$代数構造との間の関係を確立すること。
• 離散理論がコhomology上の不変量の観点から連続体BF理論と同等であることを示すこと。

提案手法

• 三角形分割または立方体分割された多様体上で、有限次元の場を用いて離散BF作用を構築すること。
• ホモトピー転送手続きを用いて、多様体のde Rham代数と細胞コチェーンを関連づけ、$qL_\infty$代数を導出すること。
• 離散作用を細胞コチェーン上の$qL_\infty$構造の生成関数として用いること。
• 関数積分ではなく有限次元積分を用いてコhomology上の有効作用を計算すること。
• 離散理論と連続体BF理論が主要な位相的観測量において同等であることを示すこと。
• 単体的および立方体的細胞分割を用いて、離散場空間と作用を定義すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベルBF理論は、三角形分割または立方体分割された多様体上で、位相的不変性を保ちつつどのように離散化できるか？
• RQ2 離散BF作用は、細胞コチェーン上の$qL_\infty$代数構造の生成関数として解釈可能か？
• RQ3 ホモトピー転送を介して、離散BF理論とその背後にある多様体のde Rham代数との関係は何か？
• RQ4 離散理論は、有限次元積分を用いてコhomology上の有効作用をどのように計算するか？
• RQ5 離散BF理論は、位相的観測量の観点から、連続体BF理論とどの程度同等か？

主な発見

• 離散BF理論は、三角形分割または立方体分割された多様体上で有限次元場理論として定式化され、位相的不変量の明示的計算を可能にする。
• 離散BF作用は、細胞コチェーン上に$qL_\infty$代数構造を生成し、$L_\infty$代数の1ループ版を提供する。
• ホモトピー転送手続きにより、多様体のde Rham代数と細胞コチェーン複体が関連づけられ、$qL_\infty$構造の根拠が得られる。
• BF理論におけるコhomology上の有効作用は、離散定式化において有限次元積分を用いて計算可能である。
• 離散理論は、主要な位相的観測量を再現する観点から、連続体BF理論と同等である。
• 明示的な例により、関数積分ではなく有限次元積分を用いた位相的量の計算の可能性が示された。