[論文レビュー] Discrete Chaos

Henri Waelbroeck, Federico Zertuche|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 1996

Cellular Automata and Applications被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、記号的力学系と同相な2進状態空間を用いた離散系における決定的カオスの理論を提案し、ニューラルネットワークおよびセルオートマトンに適用する。ハミング距離を用いるシステムはカオスを示さないが、記憶を備えたニューラルネットワークはカオスを示すことができ、位相的転送性と位相空間の縮小が確認される。N=49の場合、非対称モデルはアトラクタ次元Da=2を達成する。

ABSTRACT

We propose a theory of deterministic chaos for discrete systems, based on their representations in binary state spaces $ \Omega $, homeomorphic to the space of symbolic dynamics. This formalism is applied to neural networks and cellular automata; it is found that such systems cannot be viewed as chaotic when one uses the Hamming distance as the metric for the space. On the other hand, neural networks with memory can in principle provide examples of discrete chaos; numerical simulations show that the orbits on the attractor present topological transitivity and a dimensional phase space reduction. We compute this by extending the methodology of Grassberger and Procaccia to $ \Omega $. As an example, we consider an asymmetric neural network model with memory which has an attractor of dimension $D_a = 2$ for $N = 49$.

研究の動機と目的

• 記号的力学系と2進状態空間を用いた離散系における決定的カオスの形式的理論の構築を目的とする。
• ニューラルネットワークおよびセルオートマトンが、ハミング距離などの標準的尺度を用いてカオス的挙動を示すかどうかを調査することを目的とする。
• 記憶を備えたシステムが、特に位相的転送性と次元的位相空間縮小を通じて、カオス的ダイナミクスを支持できるかどうかを同定することを目的とする。
• アトラクタ次元計算のため、Grassberger-Procaccia法を空間Ωに拡張することを目的とする。
• 記憶付き非対称ニューラルネットワークにおける離散的カオスの具象的例を提示することを目的とする。

提案手法

• 離散系を、記号的力学系と同相な2進状態空間Ωに表現し、その動的挙動を分析する。
• 形式的理論をニューラルネットワークおよびセルオートマトンに適用し、ハミング距離尺度下でのカオス的性質を評価する。
• 位相的転送性と位相空間次元の縮小を、離散系におけるカオスの識別基準として用いる。
• Grassberger-Procacciaアルゴリズムを空間Ωに拡張し、アトラクタ次元Daの計算を可能にする。
• 記憶付き非対称ニューラルネットワークをモデル化し、長期的ダイナミクスをシミュレートし、アトラクタ特性を計算する。
• 拡張された手法を用いてN=49におけるアトラクタ次元Daを計算し、結果としてDa=2が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミング距離を尺度として用いる場合、ニューラルネットワークやセルオートマトンなどの離散系はカオス的と分類可能か？
• RQ2 記憶を備えたシステムは、位相的転送性と位相空間の縮小を示すことで、決定的カオスを示すか？
• RQ3 拡張されたGrassberger-Procaccia法を用いて、2進状態空間Ωにおけるアトラクタ次元Daは計算可能か？
• RQ4 記憶付き非対称ニューラルネットワークモデルは、離散的状況下でカオス的ダイナミクスを示すか？
• RQ5 記憶付き非対称ニューラルネットワーク（N=49）におけるアトラクタ次元Daの値は何か？

主な発見

• ハミング距離を尺度として用いる場合、ニューラルネットワークおよびセルオートマトンはカオス的挙動を示さない。
• 記憶付きシステムは、位相的転送性と位相空間の縮小によって、原則的にカオス的ダイナミクスを支持できる。
• Grassberger-Procaccia法の拡張を用いることで、空間Ωにおけるアトラクタ次元Daは計算可能である。
• N=49の記憶付き非対称ニューラルネットワークでは、アトラクタ次元がDa=2に達することが確認された。
• システムは次元的位相空間縮小を示しており、複雑ではあるが制限されたアトラクタ構造であることが示唆される。
• 数値シミュレーションにより、位相的および次元的基準を通じて、記憶付きニューラルネットワークにカオス的挙動が確認された。