[論文レビュー] Discrete choice prox-functions on the simplex

David A. Muller, Yurii Nesterov+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2019

Consumer Market Behavior and Pricing被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、特に一般化極値モデルおよびネストロジットモデルを含む加法的ランダムユーティリティモデルから導かれる単体上での離散的選択プロキシ関数を導入する。これらのプロキシ関数は、余剰関数の凸共役として機能し、自然な確率的解釈を持つ近接勾配法を可能にする。主な貢献は、消費者行動を消費サイクルとしてモデル化するデュアル平均化スキームであり、ユーティリティ最大化問題における双対ギャップの収束速度が最適な O(1/√k) に達することを示している。

ABSTRACT

We derive new prox-functions on the simplex from additive random utility models of discrete choice. They are convex conjugates of the corresponding surplus functions. In particular, we explicitly derive the convexity parameter of discrete choice prox-functions associated with generalized extreme value models, and specifically with generalized nested logit models. Incorporated into subgradient schemes, discrete choice prox-functions lead to natural probabilistic interpretations of the iteration steps. As illustration we discuss an economic application of discrete choice prox-functions in consumer theory. The dual averaging scheme from convex programming naturally adjusts demand within a consumption cycle.

研究の動機と目的

• 離散的選択理論に基づく単体上での新しいプロキシ関数の開発。
• 凸共役を介して、加法的ランダムユーティリティモデルと凸最適化の間の接続を確立すること。
• 近接法を用いた部分勾配反復の行動的解釈を、消費者理論において提供すること。
• ロジットモデルをより広範な離散的選択フレームワークに置き換えることで、既存の消費サイクルモデルを一般化すること。
• 一般化極値モデルおよびネストロジットモデルの明示的な凸性パラメータの導出。

提案手法

• 加法的ランダムユーティリティモデルから余剰関数の凸共役としてプロキシ関数を導出する。
• 単体上における凸共役の連続性、強い凸性、計算可能性を証明する。
• 一般化極値モデルおよび一般化ネストロジットモデルの凸性パラメータ β を明示的に計算する。
• 凸最適化におけるデュアル平均化スキームにプロキシ関数を統合する。
• 変数 p(i) = σ(i)λ(i) を用いて正規化された変数に問題を再定式化し、単体上での補助問題を定義する。
• 初期化として、p₀ = arg minₚ∈∆ d(p) であるプロキシセンターを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして離散的選択モデルを用いて、最適化に有利な性質を持つ単体上での新しいプロキシ関数を構築できるか？
• RQ2 一般化極値モデルから導かれるプロキシ関数の凸性パラメータ β は何か？
• RQ3 デュアル平均化スキームは、消費者理論における自然な消費サイクルとして解釈可能か？
• RQ4 余剰関数の凸共役から、反復ステップの確率的解釈はどのように生じるか？
• RQ5 提案された消費サイクルフレームワークにおける双対ギャップの収束速度は何か？

主な発見

• 加法的ランダムユーティリティモデルからの余剰関数の凸共役は、単体上での有効なプロキシ関数であり、連続性、強い凸性、計算可能性を満たす。
• 一般化極値モデルでは、凸性パラメータ β が明示的に導出され、より緊密な複雑度バウンドが可能になる。
• 一般化ネストロジットモデルに対しても、凸性パラメータが明示的に計算され、フレームワークの適用範囲が拡張される。
• デュアル平均化スキームは、内部価格が加法的ランダムユーティリティモデルに整合する確率的ルールに従って更新される消費サイクルを導く。
• 主問題と双対問題の間の双対ギャップは、最適な速度 O(1/√k) で収束し、(D + M²/β)/√(k+1) に比例するバウンドを持つ。
• 収束バウンドは、ランダム誤差の期待値 E[ǫ(i)] と最大部分勾配ノルム M に依存し、これは商品間の最大品質対価格比に比例する。