[論文レビュー] Discrete Compactness for p-Version of Tetrahedral Edge Elements

Ralf Hiptmair|ArXiv.org|Jan 7, 2009

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p$-バージョンの正四面体辺有限要素が$\boldsymbol{H}(\boldsymbol{curl}, \Omega)$において離散的コンパクト性の性質を満たすことを証明し、Maxwell固有値問題に対するガレルキン近似のスペクトル的正しさを確立する。安定なベクトルポテンシャル構成と可換射影に基づく補間を活用することで、$p \to \infty$のとき、離散的発散自由部分空間内の有界な列が$L^2(\Omega)$で収束することを示し、固有値および固有関数の漸近的収束を確認する。

ABSTRACT

We consider the first family of $\Hcurl$-conforming Nedéléc finite elements on tetrahedral meshes. Spectral approximation ($p$-version) is achieved by keeping the mesh fixed and raising the polynomial degree $p$ uniformly in all mesh cells. We prove that the associated subspaces of discretely weakly divergence free piecewise polynomial vector fields enjoy a long conjectured discrete compactness property as $p o\infty$. This permits us to conclude asymptotic spectral correctness of spectral Galerkin finite element approximations of Maxwell eigenvalue problems.

研究の動機と目的

• 正四面体メッシュ上での$p$-バージョンネデルェク辺有限要素の離散的コンパクト性を確立すること。
• Maxwell固有値問題に対する$p$-バージョン辺有限要素法のスペクトル的正しさに関する長年の予想を解消すること。
• $p$-バージョンスペクトルガレルキン法のための厳密な基礎を提供し、固有値および固有関数の収束を証明すること。
• $h$-バージョンまたは2次元の場合に限られていた既存の結果に比べ、3次元$hp$-有限要素への離散的コンパクト性理論の拡張を行うこと。

提案手法

• $p$-バージョン有限要素法を用い、メッシュを固定し多項式次数$p$を増加させることでスペクトル近似を達成する。
• $H^1$-安定なベクトルポテンシャルを生成する滑らかなポincare写像構成を適用し、離散的ヘルムホルツ分解における安定性を保証する。
• 可換射影に基づく補間作用素を用いて、回転作用素の離散的核内における近似誤差を制御する。
• 離散的ベクトル場を非回転成分と調和成分に$L^2$直交分解する。
• 非回転成分と調和成分を別々に解析することで、離散解が$L^2(\Omega)$で収束することを確立する。
• Strangの補題とコホホロジー空間の推定を用いて、離散的核近似の誤差を評価し、$s > 1/2$に対して調和場の$H^s$-正則性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p \to \infty$のとき、一般の正四面体メッシュ上での$p$-バージョン正四面体辺要素が離散的コンパクト性の性質を満たすか。
• RQ2 $p$-バージョン辺有限要素を用いて、Maxwell固有値問題に対するスペクトルガレルキン法がスペクトル的に正しく証明可能か。
• RQ3 $p$-バージョン辺有限要素の離散的発散自由部分空間は、$L^2(\Omega)$ノルムに関してコンパクトか。
• RQ4 $L^2$直交分解を用いて、$L^2(\Omega)$における固有関数の収束を証明可能か。

主な発見

• $p$-バージョン正四面体辺有限要素が$\boldsymbol{H}(\operatorname{curl}, \Omega)$において離散的コンパクト性の性質を満たす。これは、離散的発散自由部分空間内の任意の有界列が$L^2(\Omega)$で部分列収束することを意味する。
• 離散的固有関数の極限は、連続的発散自由空間$\boldsymbol{H}(\operatorname{curl}, \Omega) \cap \boldsymbol{H}_0(\operatorname{div}_{\boldsymbol{\epsilon}}0, \Omega)$に属し、スペクトル的正しさを保証する。
• Strangの補題と$L^2$誤差推定を用いて、離散解の非回転成分が極限の$L^2$射影に収束することが確立される。
• 調和成分は、$H^s$-正則性と$p$-ロバストな射影作用素の近似により、連続的調和場に収束する。
• 離散的核近似の誤差は$\mathcal{O}(\log^{3/2}p / p^s)$（$s > 1/2$）のオーダーで減少し、スペクトル収束を確認する。
• この結果により、3次元におけるMaxwell固有値問題に対する$p$-バージョン辺有限要素法の漸近的最適性およびスペクトル的正しさが裏付けられる。