[論文レビュー] Discrete Components of Some Complementary Series (II)

T. N. Venkataramana B. Speh|arXiv (Cornell University)|May 19, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$SO(n,1)$ の補完的系列表現が、コhomological表現に十分近い場合、$SO(n-1,1)$ の対応する補完的系列を離散的に含むことを確立している。ただしコhomological次数 $i \leq m/2$ の場合に限る。その結果、$SO(n,1)$ の次数 $i$ のコhomological表現は、$i \leq m/2$ のとき $SO(m,1)$ のコhomological表現を離散的に含み、この結果により、ベルジェロンの自動形式におけるスペクトルギャップに関する予想は、擬態的コhomological表現のケースに帰着される。

ABSTRACT

We show that complementary series of SO(n,1) which are sufficiently close to a cohomological representation in the Fell topology, upon restriction to SO(n-1,1), contain discretely, complementary series for SO(n-1,1) which are also sufficiently close to cohomological representations. As a global application, we show that if the non-zero eigenvalues of the Laplacian for differential forms of middle degree on congruence quotients of the hyperbolic n-space remain bounded away from zero (for all even n), then nonzero eigenvalues of the Laplacian on forms of arbitrary degree remain bonded away from zero; this reduces conjectures of Clozel and Bergeron to the case of middle degree forms.

研究の動機と目的

• 特定のパrameter条件の下で、$SO(n,1)$ の補完的系列表現に $SO(n-1,1)$ の補完的系列表現が離散的に含まれることを確立すること。
• $SO(n,1)$ の次数 $i$ のコhomological表現が $i \leq m/2$ のとき $SO(m,1)$ のコhomological表現を離散的に含むことを証明すること。
• 結果をグローバルに応用し、擬態的でないコhomological表現が、$G$ の自動形式双対において、擬態的表現が補完的系列の極限でない場合に孤立していることを示すこと。
• ベルジェロンの自動形式におけるスペクトルギャップに関する予想を、擬態的コhomological表現のケースに還元すること。

提案手法

• $G = SO(n,1)$ に対して、補完的系列表現 $\widehat{\pi_u(i)} = \mathrm{Ind}_P^G(\wedge^i \otimes \rho_P(a)^u)$ を正規化誘導により定義する。
• $H = SO(n-1,1)$ に対して、パrameter $u' = \frac{(n-1)u - 1}{n-2}$ を用いて、関連する補完的系列 $\widehat{\sigma_{u'}(i)}$ を放物型誘導により構成する。
• $\widehat{\pi_u(i)}$ の $H$ への制限を、シュワーツ空間の技法と $W' \times \mathbb{R}$ 上のフーリエ解析を用いて分析する。
• ブルーガー＝サルナックの方法を適用し、表現論的結果を局所的対称空間上のラプラシアン固有値のスペクトルギャップに結びつける。
• $\mathcal{A}_H \circ J^* = \mathrm{res} \circ \mathcal{A}_G$ を示すために、随伴写像 $J^*$ と制限写像 $\mathrm{res}$ を用い、等変性と連続性を証明する。
• $A$-表現の理論と補完的系列の極限を用いて、$u \to 1 - \frac{2i}{n-1}$ の極限において離散的分解が得られることを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $SO(n,1)$ の補完的系列表現が、何らかの条件下で、部分群 $SO(n-1,1)$ の補完的系列表現を離散的に含むのはどのような場合か？
• RQ2 $SO(n,1)$ のコhomological表現 $A_i(n)$ が、$i \leq (n-1)/2$ のとき、$SO(n-1,1)$ のコhomological表現 $A_i(n-1)$ を離散的に含むか？
• RQ3 ベルジェロンの自動形式における一様なスペクトルギャップに関する予想は、擬態的コhomological表現のケースに還元可能か？
• RQ4 $SO(n,1)$ と $SO(n-1,1)$ の補完的系列表現におけるパrameter $u$ と $u'$ の正確な関係は何か？
• RQ5 補完的系列表現を部分群に制限するとき、完備化のレベルではどのように振る舞い、なぜ $K$-有限ベクトルのレベルでは包含が成立しないのか？

主な発見

• $\frac{1}{n-1} < u < 1 - \frac{2i}{n-1}$ のとき、$SO(n-1,1)$ の補完的系列表現 $\widehat{\sigma_{u'}(i)}$ は、$SO(n,1)$ の表現 $\widehat{\pi_u(i)}$ の制限に離散的に現れる。
• $u \to 1 - \frac{2i}{n-1}$ の極限において、パrameter $u'$ は $1 - \frac{2i}{n-2}$ に近づき、$SO(n,1)$ と $SO(n-1,1)$ の補完的系列の極限が結びつく。
• $SO(n,1)$ の次数 $i$ のコhomological表現 $A_i(n)$ は、$i \leq \lfloor n/2 \rfloor - 1$ のとき、$SO(n-1,1)$ のコhomological表現 $A_i(n-1)$ を離散的に含む。
• 帰納法により、$SO(2i,1)$ の離散的系列表現 $A_i(2i)$ は、$SO(2i,1)$ のコhomological表現 $A_i$ に離散的に含まれる。
• 擬態的コhomological表現が、自動形式双対において補完的系列の極限でない場合、すべての非擬態的コhomological表現は自動形式双対において孤立する。
• この結果により、双曲空間の合同商上のラプラシアン固有値におけるベルジェロンのスペクトルギャップ予想は、擬態的コhomological表現のケースに還元される。