[論文レビュー] Discrete dynamical systems in group theory

Dikran Dikranjan, Anna Giordano Bruno|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ノルム付き半群上の半群エントロピーを用いて、数学におけるエントロピーの統一的圏的枠組みを導入し、代数的エントロピー、位相的エントロピー、測度論的エントロピーといった既知のエントロピーを、一貫したファンクター的構成の具体例として得ることを可能にする。主な貢献は、一般の公理的設定から不変性、単調性、対数法則といった性質を体系的に導出することであり、群論における代数的エントロピーと随伴代数的エントロピーの詳細な分析を伴い、随伴エントロピーが 0 または ∞ のみを値として取り、その二分法的性質を示している。

ABSTRACT

In this expository paper we describe an unifying approach for many known entropies in Mathematics. First we recall the notion of semigroup entropy h_S in the category S of normed semigroups and contractive homomorphisms, recalling also its properties. For a specific category X and a functor F from X to S, we have the entropy h_F, defined by the composition of h_S with F, which automatically satisfies the same properties proved for h_S. This general scheme permits to obtain many of the known entropies as h_F, for appropriately chosen categories X and functors F. In the last part we recall the definition and the fundamental properties of the algebraic entropy for group endomorphisms, noting how its deeper properties depend on the specific setting. Finally we discuss the notion of growth for flows of groups, comparing it with the classical notion of growth for finitely generated groups.

研究の動機と目的

• 数学における多様なエントロピー概念—代数的、位相的、測度論的—を、一つの圈权的枠組みで統一すること。
• ノルム付き半群の圏上で半群エントロピー $ h_{\mathfrak{S}} $ を定義し、ファンクターを介して既知のエントロピーを生成する普遍的構成としての役割を確立すること。
• 群の自己準同型における代数的エントロピー $ \mathrm{ent} $ と随伴代数的エントロピー $ \mathrm{ent}^\star $ の分析を行い、それらの特徴的な性質を強調すること。
• 有限生成初等的アーベル群の文脈において、群の成長とエントロピーの関係を明確にすること。
• 初等的アーベル群において、恒等写像の代数的エントロピーが 0 であることは、多項式成長および仮想ノルム的性質と同値であることを証明すること。

提案手法

• ノルム付き半群と収縮的準同型の圏 $ \mathfrak{S} $ を定義し、エントロピーの普遍的領域としての役割を果たす。
• 軌道に関する極限を用いて、半群エントロピー $ h_{\mathfrak{S}}: \mathfrak{S} \to \mathbb{R}_+ $ を構成し、既知のエントロピー定義を一般化する。
• 普遍的構成に依存せず、特定の圏に依存しない形で、すべての標準的エントロピー性質（不変性、単調性、対数法則）を導出する。
• ファンクター $ F: \mathfrak{X} \to \mathfrak{S} $ を用いて、$ \mathfrak{X} $ が $ \mathbf{Grp} $、$ \mathbf{AbGrp} $、または $ \mathbf{Set} $ のような圏である場合に、既知のエントロピーを回復する。
• 普遍的枠組みを用いて、群の自己準同型における代数的エントロピー $ \mathrm{ent} $ と随伴代数的エントロピー $ \mathrm{ent}^\star $ を分析する。
• ブリッジ定理とポントリャーギン双対性を用いて、随伴代数的エントロピーをコンパクトアーベル群上の位相的エントロピーと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数、位相、力学的系の文脈における多様なエントロピー概念を、一つの普遍的構成で統一できるか？
• RQ2 半群エントロピー枠組みを通じて、さまざまな圏にわたるエントロピーの性質は、どのように普遍的に保存されるか？
• RQ3 群の自己準同型における代数的エントロピーと随伴代数的エントロピーの振る舞いは、加法性や値域の観点からどのように異なるか？
• RQ4 有限生成初等的アーベル群において、群の成長と代数的エントロピーの正確な関係は何か？
• RQ5 随伴代数的エントロピーは常に \{0, ∞\} の値のみをとり、その双対群における位相的エントロピーにどのような意味を持つのか？

主な発見

• アーベル群上の自己準同型 $ \phi $ の随伴代数的エントロピー $ \mathrm{ent}^\star(\phi) $ は、0 または ∞ のいずれかであり、代数的エントロピーとは異なり、二分法的性質を示す。
• 非自明な群 $ K $ 上のバーナウリシフト $ \beta_K $ に対して、随伴代数的エントロピーは無限大である：$ \mathrm{ent}^\star(\beta_K) = \infty $。
• 初等的アーベルな有限生成群では、次の4つが同値である：$ h_{\text{alg}}(\mathrm{id}_G) = 0 $、$ \lambda(G) = 0 $、$ G $ は仮想ノルム的である、$ G $ は多項式成長を示す。
• 随伴代数的エントロピーの加法定理は有界アーベル群では成り立つが、一般には成り立たず、不変部分群に対する単調性の性質も成立しない。
• ブリッジ定理より、コンパクトアーベル群 $ K $ の連続自己準同型 $ \psi $ が正の有限な位相的エントロピーを持つならば、$ \psi $ は不連続でなければならない。
• 普遍的枠組み $ h_{\mathfrak{S}} \circ F $ を用いることで、$ h_{\text{top}} $、$ h_{\text{mes}} $、$ \mathrm{ent} $、$ \mathrm{ent}^\star $ といった既知のエントロピーが回復され、すべての標準的性質が一般的構成から導出される。