[論文レビュー] Discrete excursions

Mireille Bousquet‐Mélou|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、任意の有限ステップ集合 𝒮 ⊂ ℤ に対するエクcursion（一般化されたDyckパス）の母関数が代数的であることを確立し、その最小多項式が対称関数と再帰的構造によって定まる。また、高さが上限 k であるエクcursionの母関数 E^(k)(t) が有理関数であり、F_k / F_{k+1} の形に表現可能であることを示し、多項式 F_k が d_{a,b} = (a+b choose a) 階の線形再帰を満たすことを証明した。さらに、全母関数 E(t) は、最小多項式の次数が d_{a,b} に等しく、一般に既約である（特に 𝒮 = {−b, a} で gcd(a,b)=1 の場合）。

ABSTRACT

It is well-known that the length generating function E(t) of Dyck paths (excursions with steps +1 and -1) satisfies 1-E+t^2E^2=0. The generating function E^(k)(t) of Dyck paths of height at most k is E^(k)=F_k/F_{k+1}, where the F_k are polynomials in t given by F_0=F_1=1 and F_{k+1}= F_k-t^2F_{k-1}. This means that the generating function of these polynomials is \sum_{k\ge 0} F_k z^k= 1/(1-z+t^2z^2). We note that the denominator of this fraction is the minimal polynomial of the algebraic series E(t). This pattern persists for walks with more general steps. For any finite set of steps S, the generating function E^(k)(t) of excursions (generalized Dyck paths) taking their steps in S and of height at most k is the ratio F_k/F_{k+1} of two polynomials. These polynomials satisfy a linear recurrence relation with coefficients in Q[t]. Their (rational) generating function can be written \sum_{k\ge 0} F_k z^k= N(t,z)/D(t,z). The excursion generating function E(t) is algebraic and satisfies D(t,E(t))=0 (while N(t,E(t)) ot = 0). If max S=a and min S=b, the polynomials D(t,z) and N(t,z) can be taken to be respectively of degree d_{a,b}=binomial(a+b,a) and d_{a,b}-a-b in z. These degrees are in general optimal: for instance, when S={a,-b} with a and b coprime, D(t,z) is irreducible, and is thus the minimal polynomial of the excursion generating function E(t). The proofs of these results involve a slightly unusual mixture of combinatorial and algebraic tools, among which the kernel method (which solves certain functional equations), symmetric functions, and a pinch of Galois theory.

研究の動機と目的

• 任意の有限ステップ集合 𝒮 ⊂ ℤ に対するエクcursion母関数 E(t) の代数的次数と最小多項式を特定すること。
• 高さが上限 k であるエクcursionの有理母関数 E^(k)(t) を特徴づけ、それが多項式 F_k / F_{k+1} の形に表現可能であることを示すこと。
• 列 (F_k) が係数が ℚ[t] に属する線形再帰を満たし、その次数が d_{a,b} = (a+b choose a) に等しいこと（k > d_{a,b} - a - b のとき有効）を示すこと。
• 母関数 ∑_k F_k z^k が有理関数であり、シュール関数とプレチズムを用いて表現可能であることを示し、組合せ論と対称関数論を結びつけること。

提案手法

• エクcursionの最初の通過分解に由来する関数方程式にカーネル法を適用し、母関数方程式の正確な解法を可能にした。
• 転送行列法と双対ヤコビ＝トゥーリの恒等式を用いて、多項式 F_k の再帰的構造を導出し、それらを長方形型シュール関数に関連づけた。
• 基本対称関数と完全対称関数を用いて、母関数 ∑_k F_k z^k を表現し、サイズ a+b のアルファベット上でのプレチズム e_k[e_a] を用いて係数を計算した。
• ガロア理論を用いて、E(t) の最小多項式 D(t,z) の既約性を解析し、特に 𝒮 = {−a,a} や 𝒮 = {−b,a}（gcd(a,b)=1）のような対称的ケースを対象とした。
• 長方形型シュール関数 s_{k^a} の母関数が有理関数であることを示し、分母の次数が (n choose a)、分子の次数が (n choose a) − n である（n = a + b として）。
• 有理母関数の分子多項式 P(z) の明示的表現を対称関数を用いて導出し、ACEパッケージを用いた具体例の計算も行った。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ステップ集合 𝒮 = {−b, a}（a と b が互いに素）に対する母関数 E(t) の代数的次数は何か？
• RQ2 高さが上限 k であるエクcursionの母関数 E^(k)(t) は F_k / F_{k+1} の形に表現可能か？ また、多項式 F_k は ℚ[t] の係数を持つ線形再帰を満たすか？
• RQ3 E(t) を零化する最小多項式 D(t,z) の正確な次数は何か？ また、いつ既約になるか？
• RQ4 母関数 ∑_k F_k z^k を対称関数の観点からどのように表現できるか？ また、その有理関数的構造は何か？
• RQ5 F_k の再帰の次数とステップ集合 𝒮 の組合せ論的構造との間の関係は何か？

主な発見

• ステップ集合 𝒮 = {−b, a}（gcd(a,b)=1）に対する母関数 E(t) は、正確に (a+b choose a) 次の代数的関数であり、その最小多項式 D(t,z) は既約である。
• 高さが上限 k であるエクcursionの母関数 E^(k)(t) は有理関数であり、F_k / F_{k+1} に等しい。ここで (F_k) は k > (a+b choose a) − a − b のとき、(a+b choose a) 階の線形再帰を満たす。
• 母関数 ∑_k F_k z^k は有理関数であり、N(t,z)/D(t,z) に等しい。ここで D(t,z) は E(t) の最小多項式であり、z についての次数が (a+b choose a) である。
• 多項式 F_k はサイズ k の行列式として、またはサイズ a × k の長方形型シュール関数として表現可能であり、後者の表現は常にサイズ a+b の定数である。
• 対称的ステップ集合 𝒮 = {−a, a} の場合、E(t) の次数は 2^a 以下であり、特にガロア群が位数 8 の二面体群である場合（例：𝒮 = {−2,2}）にこの上限は達成可能である。
• 有理母関数 ∑_k F_k z^k の分子多項式 P(z) の係数はシュール正またはシュール負であり、a=2, n=4,5 および a=3, n=6 のような小規模なケースについて明示的表現が得られた。