[論文レビュー] Discrete Fourier analysis on fundamental domain of $A_d$ lattice and on simplex in $d$-variables

Huiyuan Li, Yuan Xu|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2008

Mathematical functions and polynomials参考文献 25被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、$A_d$格子の基本領域および$d$次元単体上における離散的フーリエ解析を構築し、三角関数補間、数値積分公式、直交多項式系を確立する。主な貢献として、$\log n$の$d$乗に比例して増加するLebesgue定数を有する、単体上での三角関数ラグランジュ補間のコンactな公式が得られ、一般化されたチェビシェフ多項式の共通零点が、同種で唯一2例目である新しいガウス型数値積分公式の節点として特定される。

ABSTRACT

A discrete Fourier analysis on the fundamental domain $Ω_d$ of the $d$-dimensional lattice of type $A_d$ is studied, where $Ω_2$ is the regular hexagon and $Ω_3$ is the rhombic dodecahedron, and analogous results on $d$-dimensional simplex are derived by considering invariant and anti-invariant elements. Our main results include Fourier analysis in trigonometric functions, interpolation and cubature formulas on these domains. In particular, a trigonometric Lagrange interpolation on the simplex is shown to satisfy an explicit compact formula and the Lebesgue constant of the interpolation is shown to be in the order of $(\log n)^d$. The basic trigonometric functions on the simplex can be identified with Chebyshev polynomials in several variables already appeared in literature. We study common zeros of these polynomials and show that they are nodes for a family of Gaussian cubature formulas, which provides only the second known example of such formulas.

研究の動機と目的

• 古典的な離散的フーリエ解析を、$A_d$格子を含む高次元格子へと拡張すること。具体的には、その基本領域上でフレームワークを構築すること。
• 格子および群作用における境界点の同値関係を解消することで、対称的な離散的フーリエ解析を構築すること。
• 不変および反変三角関数を用いて、単体上での余弦および正弦関数の類似物を構成すること。
• 単体上での三角関数補間スキームを確立し、明示的かつコンactな公式と有界なLebesgue定数の増加を実現すること。
• 一般化されたチェビシェフ多項式の共通零点が、新しいガウス型数値積分公式の節点として特定されること。

提案手法

• $A_d$格子とその基本領域を用い、それらが$\mathbb{R}^d$を平行移動および群作用によってタイル張りすることを用いる。
• 双対格子$L^\perp$によってインデックス付けされた指数関数を用いて、基本領域上に三角関数を定義し、$L^2(\Omega_d)$における正規直交基底を形成する。
• 群および格子の合同関係を用いて境界の重複を解消することで、$n\Omega_d$内の対称的点集合上に離散的フーリエ解析を構築する。
• $\mathcal{A}_d$-不変および反変関数に制限することで、結果を単体$\Delta^*$へ写像する。
• 指数関数の対称的および反対称的組み合わせとして一般化されたチェビシェフ多項式を定義し、既知の多変数チェビシェフ系と特定する。
• 多項式イデアル$T_\alpha(x) - T_{\alpha^*}(x)$（次数$n+1$）の代数的集合を同定することで、ガウス＝ロバッティ型の数値積分公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的フーリエ解析は、古典的な1次元の場合から、$A_d$のような高次元格子へどのように一般化可能か？
• RQ2 この$A_d$格子の基本領域の構造は何か？ また、その上にどのように対称的点集合を定義すれば、補間および数値積分が可能になるか？
• RQ3 $d$次元単体上での三角関数補間は、明示的かつコンactな公式で表現可能か？ そのLebesgue定数の増加率はいかほどか？
• RQ4 一般化されたチェビシェフ多項式は、単体上でのガウス型数値積分公式の構築において、どのように機能するか？
• RQ5 これらの多項式の共通零点は、新しいガウス型数値積分公式の節点を形成するか？ また、それらは多項式イデアルとどのように関係するか？

主な発見

• 単体上での三角関数ラグランジュ補間のLebesgue定数は$(\log n)^d$のオーダーで増加し、$n$の増加に伴う増加が緩やかであることを示す。
• 単体上での補間基底関数に対して、明示的かつコンactな公式が導出され、計算が効率的に行える。
• 第二種一般化チェビシェフ多項式の共通零点は、$|Y_n| = \binom{n+d}{d}$個の節点を持つガウス型数値積分公式の節点を形成する。
• 数値積分公式(5.18)は、重み$w^{-1/2}$に対してガウス＝ロバッティ型であり、理論的最小値$\dim \Pi_{n-1}^d$を上回る節点数を持つため、高い精度を有する。
• 節点集合$Y_n$は、$|\alpha| = n+1$を満たす$T_\alpha(x) - T_{\alpha^*}(x)$によって生成される多項式イデアルの代数的集合である。これらの多項式は$\Pi_{n-2}^d$に直交する。
• 本研究は、このような構造を持つガウス型数値積分公式の事例として、唯一2例目を提供しており、多変数数値積分の理論を著しく前進させる。