[論文レビュー] Discrete fractional Calculus and Inequalities

George A. Anastassiou|ArXiv.org|Nov 17, 2009

Numerical methods in engineering参考文献 3被引用数 41

ひとこと要約

本稿では、Caputo型離散分数階差分を導入し、明示的な剰余項推定を伴う最初の離散分数階テイラー公式を確立する。離散領域における分数階和分算術作用素を用いて、Ostrowski、Poincaré、Sobolev型の新たな離散分数階不等式を導出する。これらの結果は、離散分数階微積分における関数近似および誤差解析への応用を含む。

ABSTRACT

Here we define a Caputo like discrete fractional difference and we compare it to the earlier defined Riemann-Liouville fractional discrete analog. Then we produce discrete fractional Taylor formulae for the first time, and we estimate their remainders. Finally, we derive related discrete fractional Ostrowski, Poincare and Sobolev type inequalities.

研究の動機と目的

• Caputoに類似た離散分数階差分作用素を定義し、Riemann-Liouvilleの類似作用素と比較すること。
• 非整数階分數階差分に対して、剰余項推定を伴う最初の離散分數階テイラー公式を開発すること。
• 分數階和分算術作用素を用いて、Ostrowski、Poincaré、Sobolev型の新たな離散分數階不等式を導出すること。
• ノルムおよび分數階微分の重み付き和を用いて、離散分數階設定における関数の境界を確立すること。
• 数値解析および近似理論に適用可能な離散分數階微積分の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• Pochhammer記号を用いた離散畳み込みによる$\nu$-階分數階和の定義：$\Delta^{-\nu}f(t,a) = \frac{1}{\Gamma(\nu)}\sum_{s=a}^{t-\nu}(t-s-1)^{(\nu-1)}f(s)$。
• Caputo型分數階差分$\Delta_{\ast}^{\mu}f(t) = \Delta^{-\nu}(\Delta^m f(t))$の導入（$\mu > 0$, $m = \lceil \mu \rceil$, $\nu = m - \mu$）。
• 離散分數階テイラー公式の導出：$f(t) = \sum_{k=0}^{m-1}\frac{(t-a)^{(k)}}{k!}\Delta^k f(a) + \frac{1}{\Gamma(\mu)}\sum_{s=a+\nu}^{t-\mu}(t-s-1)^{(\mu-1)}\Delta_{\ast}^{\mu}f(s)$（$t \in \mathbb{N}_{a+m}$で有効）。
• 離散 Hölder の不等式を適用して、関数の$\ell^r$-ノルムを分數階微分の項で上界評価する。
• 重み付き和および作用素ノルムを用いて、$\Delta_{\ast}^{\mu_l}f(s)$および正の重み関数$C_l(s)$を含むSobolev型不等式を導出する。
• 境界の確立にあたり、$\delta^* = \max_{1\leq l\leq k}\left\{ \frac{1}{(\Gamma(\mu_l))^2}\left[\sum_{j=a+m_l}^{b}\left(\sum_{s=a+\nu_l}^{j-\mu_l}\left((j-s-1)^{(\mu_l-1)}\right)^2\right)^{r/2}\right]^{2/r} \right\}$ および $\varrho^* = \max_{1\leq l\leq k}\left|\left(\frac{1}{C_l(s)}\right)\right|_{\infty,[a+\nu_l,b-\mu_l]}$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散分數階微積分の枠組み内で、Caputo型離散分數階差分を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 非整数階分數階差分に対して、剰余項を伴う離散分數階テイラー展開の形はどのようなものか？
• RQ3 離散分數階OstrowskiおよびPoincaré型不等式は、連続対応物と比較して、境界の点でどのように異なるか？
• RQ4 離散区間における関数の$\ell^r$-ノルムが、その分數階微分の重み付き和によって有界であるための条件は何か？
• RQ5 複数の分數階および重み関数を用いて、離散分數階設定でSobolev型不等式を確立できるか？

主な発見

• 式(3)の離散分數階テイラー公式は、$t \in \mathbb{N}_{a+m}$に対して$f(t)$の正確な表現を提供し、$a$における整数階差分と、Caputo微分の分數階積分に分解する。
• テイラー公式の剰余項は$\frac{1}{\Gamma(\mu)}\sum_{s=a+\nu}^{t-\mu}(t-s-1)^{(\mu-1)}\Delta_{\ast}^{\mu}f(s)$によって上界評価され、$\mu > 0$に対して収束を保証する。
• $r \geq 1$に対して、$\Delta^p f$の$\ell^r$-ノルムは、カーネルノルムと$\Delta_{\ast}^\mu f$の$\ell^\delta$-ノルムの積によって上界評価され、$\delta > 1$、$1/\gamma + 1/\delta = 1$を満たす。
• 離散分數階Ostrowski型不等式(33)は、$\|f\|_{r,[a+m_k,b]} \leq \sqrt{\delta^* \varrho^*} \left(\frac{\sum_{l=1}^k B_l}{k}\right)^{1/2}$を導く。ここで$B_l = \sum_{s=a+\nu_l}^{b-\mu_l} C_l(s)(\Delta_{\ast}^{\mu_l}f(s))^2$である。
• $\delta^*$は離散カーネルの$L^{r/2}$-ノルムの影響を捉えており、$\varrho^*$は逆重みの制御を担い、最適な重み選択のもとで鋭い推定が可能になる。
• 初期差分$\Delta^\tau f(a) = 0$（$\tau = 0,\dots,m_k-1$）が成り立つ場合、Sobolev型不等式(37)は、重み付き分數階微分の項で表される$\|f\|_{r,[a+m_k,b]}$の統一された境界を提供する。