[論文レビュー] Discrete Fresnel Transform and Its Circular Convolution

Xing Ouyang, Cleitus Antony+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2015

Orbital Angular Momentum in Optics参考文献 19被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、無限周期的光学グレーティングから導かれた非退化離散フレネル変換（DFnT）を紹介し、初めてその円形畳み込み性を確立する。DFnTにより、ターボルト像の係数を効率的に計算可能となり、変換域における乗算による畳み込み演算を可能にすることで、光学およびデジタル信号処理への応用が可能になる。

ABSTRACT

Discrete trigonometric transformations, such as the discrete Fourier and cosine/sine transforms, are important in a variety of applications due to their useful properties. For example, one well-known property is the convolution theorem for Fourier transform. In this letter, we derive a discrete Fresnel transform (DFnT) from the infinitely periodic optical gratings, as a linear trigonometric transform. Compared to the previous formulations of DFnT, the DFnT in this letter has no degeneracy, which hinders its mathematic applications, due to destructive interferences. The circular convolution property of the DFnT is studied for the first time. It is proved that the DFnT of a circular convolution of two sequences equals either one circularly convolving with the DFnT of the other. As circular convolution is a fundamental process in discrete systems, the DFnT not only gives the coefficients of the Talbot image, but can also be useful for optical and digital signal processing and numerical evaluation of the Fresnel transform.

研究の動機と目的

• 破壊的干渉によって引き起こされる数学的退化を回避する離散フレネル変換（DFnT）の開発。
• DFnTの円形畳み込み定理を導出し、証明することで、変換域における効率的な信号処理を可能にする。
• DFnTを用いたターボルト像係数の計算に向け、数学的に堅牢なフレームワークを提供する。
• 離散三角関数変換の有用性を、光学系のモデル化およびフレネル変換の数値評価に拡張する。

提案手法

• DFnTは、無限周期的光学グレーティングの物理的モデルから導出され、明確に定義された非退化な定式化を保証する。
• 変換は、フレネル回折積分の離散的サンプリングに基づく核関数を有する線形三角関数変換として定義される。
• 円形畳み込み性は、二つの系列の円形畳み込みのDFnTが、ある系列のDFnTと他方の系列のDFnTの積に比例することを証明することで確立される。
• 離散三角関数変換の性質および周期性を用いた数学的証明により、理論的導出が裏付けられる。
• DFnTがターボルト像係数を正確に表現できることから、フレームワークの妥当性が検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 破壊的干渉によって生じる退化を回避する離散フレネル変換は、どのように定式化できるか？
• RQ2 離散フレネル変換の円形畳み込み性とは何か？また、フーリエ変換の畳み込み定理と比べてどのように異なるか？
• RQ3 DFnTを用いて、周期的回折系におけるターボルト像の係数を効率的に計算できるか？
• RQ4 DFnTは、光学およびデジタル信号処理分野における新たな応用をどのように可能にするか？

主な発見

• 提案されたDFnTは非退化であり、破壊的干渉によって生じる従来の定式化の主要な制限を解消する。
• 円形畳み込み性が証明された：二つの系列の円形畳み込みのDFnTは、ある系列のDFnTと他方の系列のDFnTの積に比例する。
• DFnTにより、変換域における演算を通じてターボルト像係数を直接計算可能となり、フレネル変換の数値評価が向上する。
• DFnTは、フーリエ変換の畳み込み定理と類似した、離散系における効率的な信号処理を可能にする。