[論文レビュー] Discrete gauge theories

Mark de Wild Propitius, F.A. Bais|ArXiv.org|Nov 28, 1995

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 7被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、連続的なゲージ対称性が有限群にまで破れるヒッグス機構から生じる離散的ゲージ理論の包括的枠組みを提示する。トポロジカルな励起状態、たとえば任意onsやダイオンに注目し、量子ダブル代数を用いて統一的な記述を確立する。ホップ代数的構造を通じて、非アーベルのブレード統計、フラックスの変化（メタモルフォシス）、一般化されたスピン統計関係が明らかになる。主な結果として、安定なヴォーテックスの分類と、$ar{D}_2$ ゲージ理論のような系における非アーベル統計が得られる。

ABSTRACT

In these lecture notes, we present a self-contained discussion of planar gauge theories broken down to some finite residual gauge group H via the Higgs mechanism. The main focus is on the discrete H gauge theory describing the long distance physics of such a model. The spectrum features global H charges, magnetic vortices and dyonic combinations. Due to the Aharonov-Bohm effect, these particles exhibit topological interactions. Among other things, we review the Hopf algebra related to this discrete H gauge theory, which provides an unified description of the spin, braid and fusion properties of the particles in this model. Exotic phenomena such as flux metamorphosis, Alice fluxes, Cheshire charge, (non)abelian braid statistics, the generalized spin-statistics connection and nonabelian Aharonov-Bohm scattering are explained and illustrated by representative examples. Preface: Broken symmetry revisited, 1 Basics: 1.1 Introduction, 1.2 Braid groups, 1.3 Z_N gauge theory, 1.3.1 Coulomb screening, 1.3.2 Survival of the Aharonov-Bohm effect, 1.3.3 Braid and fusion properties of the spectrum, 1.4 Nonabelian discrete gauge theories, 1.4.1 Classification of stable magnetic vortices, 1.4.2 Flux metamorphosis, 1.4.3 Including matter, 2 Algebraic structure: 2.1 Quantum double, 2.2 Truncated braid groups, 2.3 Fusion, spin, braid statistics and all that..., 3 \bar{D}_2 gauge theory: 3.1 Alice in physics, 3.2 Scattering doublet charges off Alice fluxes, 3.3 Nonabelian braid statistics, 3.A Aharonov-Bohm scattering, 3.B B(3,4) and P(3,4), Concluding remarks and outlook

研究の動機と目的

• 連続的ゲージ対称性が有限な残余群に自発的に破れる平面的ゲージ理論における長距離物理の自己完結的記述を構築すること。
• 離散的ゲージ理論における安定な磁気ヴォーテックスおよびそのトポロジカル性質を分類すること。
• ホップ代数的構造、特に量子ダブルを用いて準粒子のスピン、ブレード統計、融合統計を統一的に記述すること。
• フラックスの変化、アリスフラックス、チェシャー電荷、非アーベルブレード統計といった特異な現象を離散的ゲージ理論で探ること。
• これらのモデルにおける一般化されたスピン統計関係および非アーベルアハラノフ＝ボーム散乱の体系的取り扱いを提供すること。

提案手法

• 連続的ゲージ群を有限な離散的残余群$H$にまで破れるヒッグス機構の使用により、長距離トポロジカル秩序が生じる。
• 量子ダブル$D(H)$を、理論のすべての任意ons統計および融合則を記述する代数的構造として構築する。
• 任意onsのブレード統計を記述するために、切断されたブレード群$B(n,k)$を用いる。その既約表現が任意ons統計を分類する。
• 図式的手法とキャラクタ理論を用いて、テンソル積ヒルベルト空間を量子ダブルおよびブレード群の既約表現に分解する。
• 具体的なモデル、たとえば$\bar{D}_2$ ゲージ理論において、融合則およびブレード行列を明示的に計算し、非アーベル統計を分析する。
• フラックスおよび電荷の固有状態を、特定の順序付けの慣習と表記法を用いて導入し、任意onsのブレードおよび融合を追跡する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2+1次元におけるヒッグス機構からどのように離散的ゲージ理論が生じ、それによって生じるトポロジカルな励起状態は何か？
• RQ2 量子ダブル$D(H)$は、離散的ゲージ理論における任意onsのスピン、ブレード統計、融合性質を統一的に記述する上で果たす役割は何か？
• RQ3 ダイオン励起状態を有する系において非アーベルブレード統計はどのように生じるのか。関連するヒルベルト空間の構造は何か？
• RQ4 フラックスの変化、アリスフラックス、チェシャー電荷といった特異な現象の物理的実現と特徴は何か？
• RQ5 非アーベル離散的ゲージ理論における一般化されたスピン統計関係はどのように実現されるか？

主な発見

• 離散的$H$ゲージ理論のスペクトルには、全$H$電荷、磁気ヴォーテックス、ダイオン励起状態が含まれ、すべてアハラノフ＝ボーム効果を通じてトポロジカルな相互作用を示す。
• $\bar{D}_2$ ゲージ理論において、2ダイオン系は$B(2,4) \cong \mathbb{Z}_4$を介してアーベルブレード統計を示すが、3ダイオン系は非アーベル切断ブレード群$B(3,4)$を通じて非アーベルブレード統計を実現する。
• 2つの$\tau_1^+$ダイオンの内部ヒルベルト空間は$3\Gamma^1 + \Gamma^3$に分解され、ここで$\Gamma^1$および$\Gamma^3$は$\mathbb{Z}_4$の1次元表現である。これはアーベルブレード統計を示している。
• 3ダイオン系は、$B(3,4)$の4つの1次元および2つの2次元既約表現に分解され、非アーベルブレード統計の存在が確認される。
• 融合則$\tau_1^+ \times \tau_1^+ = 1 + J_1 + \bar{J}_2 + \bar{J}_3$は、任意ons融合の可能なチャネルを記述し、各チャネルが異なる量子数を有する。
• 一般化されたスピン統計関係は、量子ダブル代数を通じて実現され、任意onsのスピン因子は$D(H)$の$R$行列に符号化されており、トポロジカルスピンとブレード統計を結びつける。