[論文レビュー] Discrete Geometric Structures in Homogenization and Inverse Homogenization with application to EIT

Mathieu Desbrun, Roger Donaldson+1 more|ArXiv.org|Apr 17, 2009

Numerical methods in inverse problems参考文献 55被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、導電率均質化を凸関数上の線形補間、または発散なしの行列上の体積平均化として再表現する幾何的枠組みを提案する。これにより、重み付きデローニ三角形分割を用いたロバストで最適な均質化が可能になる。2次元電気インピーダンス断層法（EIT）に適用することで、境界データからの安定した異方性再構成が可能となり、凸関数空間における解のパラメータ化により、従来達成できなかった微細構造の解像度が実現される。

ABSTRACT

We introduce a new geometric approach for the homogenization and inverse homogenization of the divergence form elliptic operator with rough conductivity coefficients $σ(x)$ in dimension two. We show that conductivity coefficients are in one-to-one correspondence with divergence-free matrices and convex functions $s(x)$ over the domain $Ω$. Although homogenization is a non-linear and non-injective operator when applied directly to conductivity coefficients, homogenization becomes a linear interpolation operator over triangulations of $Ω$ when re-expressed using convex functions, and is a volume averaging operator when re-expressed with divergence-free matrices. Using optimal weighted Delaunay triangulations for linearly interpolating convex functions, we obtain an optimally robust homogenization algorithm for arbitrary rough coefficients. Next, we consider inverse homogenization and show how to decompose it into a linear ill-posed problem and a well-posed non-linear problem. We apply this new geometric approach to Electrical Impedance Tomography (EIT). It is known that the EIT problem admits at most one isotropic solution. If an isotropic solution exists, we show how to compute it from any conductivity having the same boundary Dirichlet-to-Neumann map. It is known that the EIT problem admits a unique (stable with respect to $G$-convergence) solution in the space of divergence-free matrices. As such we suggest that the space of convex functions is the natural space in which to parameterize solutions of the EIT problem.

研究の動機と目的

• 粗い導電率係数を有する楕円型作用素の均質化を、微小スケールのパrameterに依存せずに幾何的空間で行う枠組みを開発すること。
• EITにおける不適切に定式化された逆均質化問題を、線形に不適切に定式化された問題と、適切に定式化された非線形問題に分解すること。
• EITにおける安定的かつロバストな再構成手法を提供することにより、導電率を凸関数空間でパラメータ化し、異方性微細構造の解像度を向上させること。
• 離散的凸関数補間のための重み付きQ適応メッシュに、デローニ三角形分割の最適性を拡張すること。

提案手法

• 発散なしの行列Qと凸関数s(x)との一対一対応を用いて、導電率σ(x)をパラメータ化し、均質化を線形補間または体積平均化として再表現する。
• 凸関数s(x)の補間に最適な重み付きデローニ三角形分割を用い、離散的ディリクレエネルギーを最小化するグローバル最適性を保証する。
• 三角形ステンシル上での2次補間を用いて、離散的ディリクレ・トゥ・ノイマン（DtN）写像Λ_shをs^h_iから構築し、境界安定性を確保するためのゴースト頂点を含む。
• 最適化により逆EIT問題を解く：データ不一致項とtr(Q^h)の全 Variation正則化項の和を最小化し、q^h_ij ≥ 0 を制約条件とする。
• IpOptを用いた効率的最適化のため、データ不一致項のヤコビ行列をプライマル・アドジョイント法で計算する。
• 計算の実行可能性を確保するため、Tikhonov正則化パrameter α を実験的に調整する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粗い導電率係数の均質化を、非線形性を回避する幾何的空間における線形作用素として再定式化できるか？
• RQ2 離散的凸関数補間のための最適メッシュをどのように構築できるか？これにより、均質化における安定性と正確性が保証されるか？
• RQ3 逆EIT問題を、適切に定式化された非線形問題と線形に不適切に定式化された問題に分解できるか？これにより、安定な再構成が可能になるか？
• RQ4 導電率を凸関数でパラメータ化することは、標準的なパラメータ化よりも、EITにおける微細構造の異方性微細構造を解像するのに効果的か？
• RQ5 本枠組みは、安定解像度限界以下のピッチを有する積層的微細構造のアップスケール表現を再構成できるか？

主な発見

• 導電率係数の均質化は、凸関数s(x)の空間に表現された場合、線形補間作用素となり、発散なしの行列Qの空間に表現された場合、体積平均化作用素となる。
• 凸関数に基づく重み付きデローニ三角形分割は、離散的ディリクレエネルギーを最小化するグローバル最適性を達成し、標準的なデローニ三角形分割の性質を拡張する。
• 本手法は、EITにおける異方性導電率パターンの再構成に成功しており、異方性の方向性と強度が、Qの固有値差を用いて可視化されている。
• 図2.2に示される積層的微細構造の再構成は、著者らの知る限り、従来達成できなかった高解像度を実現しており、解像度限界以下のピッチであっても、アップスケールされた異方性を捉え込んでいる。
• 数値実験により、det(Q^h)に比べてtr(Q^h)を正則化項として用いることで、計算効率が向上するが、再構成品質に劣化は認められない。
• 一部の標準的手法とは異なり、本手法は導電率再構成における動的範囲の低減を回避し、発散なしの行列空間におけるG収束においても安定性を維持する。