[論文レビュー] Discrete invariants of varieties in positive characteristic

B.J. Moonen, Torsten Wedhorn|ArXiv.org|Jun 24, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、正標数における滑らかでコンpactな代数的多様体の離散不変量を分類するための統一的枠組みを提供するF-zip—ベクトル束にフィルトレーションと半線形同型写像を組み合わせた代数的構造—を導入する。代数的閉体上でのF-zipの完全な分類は、ワイル群からの組合せ論的データを用いてなされ、基底スキームに対してスキーム的エーケルダル＝オールデン層構造が構成され、既知のアーベル多様体やK3多様体の層構造を一般化する。

ABSTRACT

If $S$ is a scheme of characteristic $p$, we define an $F$-zip over $S$ to be a vector bundle with two filtrations plus a collection of semi-linear isomorphisms between the graded pieces of the filtrations. For every smooth proper morphism $X o S$ satisfying certain conditions the de Rham bundles $H^n_{ m dR}(X/S)$ have a natural structure of an $F$-zip. We give a complete classification of $F$-zips over an algebraically closed field by studying a semi-linear variant of a variety that appears in recent work of Lusztig. For every $F$-zip over $S$ our methods give a scheme-theoretic stratification of $S$. If the $F$-zip is associated to an abelian scheme over $S$ the underlying topological stratification is the Ekedahl-Oort stratification. We conclude the paper with a discussion of several examples such as good reductions of Shimura varieties of PEL type and K3-surfaces.

研究の動機と目的

• 正標数における多様体の離散不変量を分類するための体系的枠組みをF-zipを用いて開発すること。
• 条件(D)を満たす任意の滑らかでコンパクトな射に一般化して、アーベル多様体におけるエーケルダル＝オールデン層構造を拡張すること。
• 特徴値pにおける多様体のモジュライ空間における層の構造を、集合論的ではなくスキーム論的定義として与えること。
• K3多様体やPEL型シムーラ多様体のモジュライ空間の層構造に関する先行研究を統合・拡張すること。
• 群論的および代数的幾何学的手法を用いて、F-zip構造とホッジ的データの退化の間の幾何的対応関係を確立すること。

提案手法

• 特徴値pのスキームS上のF-zipを、ホッジフィルトレーション、共役フィルトレーション、および逆カルティエ作用素によって誘導されるその各成分数の間の半線形同型写像を備えたベクトル束として定義する。
• 与えられたタイプτのF-zip構造をパラメトライズするモジュライスキーム$X_{\tau}$を定義し、自然な$\mathrm{GL}_n$作用を備える。
• ルシュティグの多様体の半線形版を用いて$X_{\tau}$における$\mathrm{GL}_n$-軌道を研究し、ワイル群内の二重コセットを用いた分類に至る。
• 各$u \in {}^JW$に対して、$S^u_{\underline{M}} \subset S$を部分関手として定義することにより、一般化されたエーケルダル＝オールデン層構造を構成し、これらは局所的に閉じた部分スキームとして代表可能である。
• K3多様体に応用するため、その第二ド・ラームコホロロジーに直交的F-zip構造を導入し、層構造が高さとアーティン不変量の層構造と関係することを示す。
• ド・ラームバンドルの自明化のトーラスからモジュライ空間のF-zip構造への周期写像$\#S \to X_\tau$を構成し、ホッジ理論における古典的周期写像に類似する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数における多様体の離散不変量は、代数的幾何的構造を用いてどのように体系的に分類できるか？
• RQ2 代数的閉体上の正標数におけるF-zipの完全な分類は何か？
• RQ3 条件(D)を満たす任意の滑らかでコンパクトな射に一般化されたエーケルダル＝オールデン層構造は、アーベル多様体を越えてどのように一般化されるか？
• RQ4 特徴値pにおける多様体のモジュライ空間における層構造のスキーム論的構造は何か？また、ド・ラームコホロロジーの幾何とどのように関係するか？
• RQ5 K3多様体におけるF-zip構造は、高さとアーティン不変量の層構造をどのように反映・統合するか？

主な発見

• 代数的閉体$k$上でのタイプ$\tau$のF-zipの同型類の集合と、ワイル群内の最小コセット代表元の集合$({}^JW)$との間に自然な全単射が存在する。
• 任意の$k$上でのF-zipは、一意に$u \in {}^JW$に対応する標準的F-zip$\underline{M}^u_\tau \otimes_{\mathbb{F}_p} k$に同型である。これは完全な組合せ論的分類を確立する。
• 基底スキーム$S$の一般化されたエーケルダル＝オールデン層構造は、$S$を局所的に閉じた部分スキーム$S^u_{\underline{M}}$（各$u \in {}^JW$に対応）に分割するものであり、その合併は双対写像かつモノモルフィズムである。
• アーベルスキームにおいて、$H^1_{\rm dR}$上のF-zip構造によって誘導される層構造は、古典的なエーケルダル＝オールデン層構造と一致する。
• 極性次数$2d$のK3多様体において、原始的コホロロジー上のF-zip層構造は、高さとアーティン不変量の層構造と一致する：$1 \leq j \leq 11$に対して$S^{(j)} = S_j \setminus S_{j+1}$、$S_{11} = S_\infty$。
• $k$-点において、特異的局在$S_{\infty,l}(k)$は、$S_{\infty,l}(k) = \coprod_{i \geq 21-l} S^{(i)}(k)$として、互いに素な層の直和に分解され、オグスの結果と整合することが確認された。