[論文レビュー] Discrete Itô Formulas and Their Applications to Stochastic Numerics

Jirô Akahori|ArXiv.org|Mar 14, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、条件付きフーリエ級数における直交展開を用いて、伊藤の補題の離散時間版としての離散的イトの公式を導入する。この手法により、確率的PDEのための有限差分スキームが得られ、増分の直交展開に基づく次元に依存しない数値スキームを構築することで、高次元モンテカルロシミュレーションが可能になる。収束速度は離散化におけるモーメントマッチングに依存する。

ABSTRACT

This is a survey note of the author's observations on the discrete-time analogues of Itô formulas.

研究の動機と目的

• 確率積分に依存しない、直交展開を用いた離散時間版のイトの補題の開発。
• 確率的差分方程式から導かれる有限差分スキームを用いた、高次元PDEのシミュレーションのための計算フレームワークの確立。
• 特に完全市場モデルにおいて、イェルラー＝マルヤム型スキームの収束を離散的イト微積分を用いて分析すること。
• ウォルシュ系に基づく直交展開を用いて、高次元SDEの次元に依存しないモンテカルロシミュレーション手法の提案。
• マルコフ連鎖近似と有限差分スキームの対応関係を、非線形的かつ非ガウス的設定へ一般化すること。

提案手法

• L^2(ν)における直交展開を用いて、ν（増分分布）に対する正規直交基底{H_n}を用いて、離散的イトの公式を導出する。
• ランダムウォークおよび確率的差分方程式に展開を適用し、増分を0次（0次クラウス）、1次（1次クラウス）、および高次クラウス項に分解する。
• N ∫ f(x + F(x, Δt, H(y))) ν(dy) を用いて定義されるL^N作用素を用いて、SDEの生成作用素を離散化することで、有限差分スキームを構築する。
• [0,1)におけるウォルシュ系を正規直交基底として用い、準ランダムな増分を生成することで、次元に依存しないシミュレーションを可能にする。
• L^N におけるモンテカルロまたは準モンテカルロサンプリングを [0,1)^N 上で実行し、離散過程の経路をシミュレートする。安定性と収束性を保証する。
• 離散作用素 ∂^N_t + L^N が連続生成作用素 ∂_t + L と一貫していることを確認することで、スキームの収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率積分に依存せずに、イトの公式を離散時間に再定式化することは可能か？
• RQ2 増分分布が非ガウス的または非原子的である場合、離散的イトの公式の構造はどのようになるか？
• RQ3 離散的イト微積分とモンテカルロ法を用いて、高次元PDEのための有限差分スキームを構築できるか？
• RQ4 特に完全市場モデルにおいて、離散的イトの公式から導かれるスキームの収束速度はどの程度か？
• RQ5 L^2(ν)における直交展開を用いて、SDEの次元に依存しない数値スキームを設計する方法は何か？

主な発見

• 離散的イトの公式は、離散過程の関数の増分を、条件付き期待値（0次クラウス）、線形項（1次クラウス）、および高次直交補正項に分解する。
• イェルラー＝マルヤム型スキームにおいて、Δt → 0 の極限で標準的なイトの公式が回復され、n ≥ 2 のとき完全市場では収束速度が少なくとも √Δt 以上である。
• 増分分布νが[0,1]上でLebesgue測度である場合、ウォルシュ系を正規直交基底として用いることで、得られるスキームは実質的に次元に依存せず、約3000次元までのシミュレーションが可能になる。
• 離散的イトの公式から導かれる有限差分スキームは、離散作用素 ∂^N_t + L^N が連続生成作用素 ∂_t + L と一貫している限り、対応するPDEの解に収束する。
• この手法により、[0,1)^N 上での一様サンプリングと直交増分を用いた経路シミュレーションに帰着させることで、高次元PDEの効率的モンテカルロシミュレーションが可能になる。
• このフレームワークは弱近似スキームおよび非線形SDEへ一般化可能であり、古典的なクラスカル＝カーマン対応関係（マルコフ連鎖と有限差分スキームの対応）を拡張する。