[論文レビュー] Discrete Linear Groups containing Arithmetic Groups

Indira Chatterji, T. N. Venkataramana|arXiv (Cornell University)|May 12, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、高ランクの単純な実代数群 G におけるザリスキ・デュアルな離散部分群が、実ランク ≥2 の低ランク部分群 H における格を含む場合、それが G における格であるための条件を確立する。超剛性およびフラッグ多様体上の幾何的議論を用いて、このような部分群が SLₙ(ℤ) や Sp_g(ℤ) のような算術群と可換な関係にあることを証明し、マダヴァ・ノリの予想の主要な場合を確認する。

ABSTRACT

We prove in a large number of cases, that a Zariski dense discrete subgroup of a simple real algebraic group $G$ which contains a higher rank lattice is a lattice in the group $G$. For example, we show that a Zariski dense subgroup of $SL_n({\mathbb R})$ which contains $SL_3({\mathbb Z})$ in the top left hand corner, is conjugate to $SL_n({\mathbb Z})$ .

研究の動機と目的

• 実半単純リー群 G のザリスキ・デュアルな離散部分群 Γ が、低ランク部分群 H における格を含む場合、それが G においても格であるかどうかを解明するマダヴァ・ノリの予想を解決すること。
• H が実ランク ≥2 を満たす場合に、そのような部分群 Γ ⊂ G が算術的であるための条件を調査すること。
• 高ランク格を含む離散部分群に対する超剛性を確立し、その線形表現が周囲の群 G の表現とどのように関連するかを明らかにすること。
• 実ランク 1 の場合、そのような格が無限体積のザリスキ・デュアルな離散部分群に拡張可能であることを示し、高ランクの場合と対照的にすること。

提案手法

• Iwasawa 分解 G = ANK を用い、H がフラッグ多様体 G/P₀ に作用する様子を調べ、その固定部分群に注目する。
• 次元および固定部分群の非コンパクト性に関する条件の下で、十分に大きな高ランク格を含む離散部分群に対する一般化された超剛性定理を適用する。
• Bruhat 分解と G/P₀ 上の単心的フローの力学を用いて、群 H 内の列の挙動とそのコンパクト部分集合への作用を分析する。
• G/P における H/Q のコンパクト近傍上でピングポーン補題を用い、H 内の格 Δ の共役の自由積を構成することで、G におけるザリスキ・デュアル性を保証する。
• 相対的ワイル群の構造と A⁺ 内の元による共役を分析し、特定の列が H/Q に収束する必要があることを示し、その集合が非コンパクトである場合に矛盾を導く。
• Margulis の超剛性および算術性定理を適用し、このような部分群が SLₙ(ℤ) や Sp_g(ℤ) のような算術群と可換であるべきであることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ザリスキ・デュアルな離散部分群 Γ ⊂ G が、実ランク ≥2 の部分群 H ⊂ G における格を含む場合、それが G においても格であるための条件は何か？
• RQ2 Γ が H 内の高ランク格を含む場合、その超剛性は確立可能か？ そしてこれはその線形表現にどのような意味を持つのか？
• RQ3 なぜ実ランク 1 の場合、このような拡張は格でないのか？ 何が幾何的または力学的障害となっているのか？
• RQ4 H の次元が K（G の最大コンパクト部分群）の次元に対してどの程度大きいと、Γ が算術的でなければならないのかを特定できるか？
• RQ5 H が G/P₀ に作用する固定部分群の構造が、Γ の構造および有限性性質にどのように影響を与えるか？

主な発見

• n ≥ 4 のとき、SLₙ(ℝ) に含まれるザリスキ・デュアルな離散部分群 Γ で、左上隅に埋め込まれた SL₃(ℝ) との交わりが SL₃(ℤ) の有限指数部分群であるようなものは、SLₙ(ℤ) の共役と可換である。
• 同様に、g ≥ 3 のとき、Sp_g(ℝ) に含まれるザリスキ・デュアルな離散部分群 Γ で、Sp₂(ℝ) との交わりが Sp₂(ℤ) と可換であるようなものは、Sp_g(ℤ) と可換である。
• dim(H) > dim(K) かつ H ⊂ G が実ランク ≥2 を満たす場合、ザリスキ・デュアルな離散部分群 Γ ⊂ G で H との交わりが無限可約格であるようなものは、Margulis の意味で超剛性を示す。
• 実ランク 1 の場合、H（実ランク 1）における格 Δ ⊂ H は、無限体積のザリスキ・デュアルな離散部分群 Γ ⊂ G に拡張可能であり、高ランク仮定が不可欠であることを示している。
• H が G/P₀ に作用する固定部分群が、すべての点で正次元かつ非コンパクトであるならば、Γ に対して超剛性が成り立つ。これは主定理における重要な条件である。
• 証明では、Δ の有限指数部分群 Δ₀ を構成し、その共役 gᵢΔ₀gᵢ⁻¹ の生成する群が自由積であり、G においてザリスキ・デュアルであることを示している。これにより、Γ が実ランク 1 の設定では格でないことが示された。