[論文レビュー] Discrete Mathematics and Physics on the Planck-Scale

Manfred Requardt|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 1995

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、プランクスケールにおける時空の離散的細胞ネットワークモデルを提案する。細胞と結合が動的変数を表しており、離散的解析の新しい枠組みと、接続性に基づくトポロジカル次元の概念を可能にする。次元4がネットワーク接続性の位相転移に類似した変化を通じて自然に出現することを示唆し、古典的時空次元の物理的根拠を提供する。

ABSTRACT

Starting from the hypothesis that both physics, in particular space-time and the physical vacuum, and the corresponding mathematics are discrete on the Planck scale we develop a certain framework in form of a '{\it cellular network}' consisting of cells interacting with each other via bonds. Both the internal states of the cells and the "strength" of the bonds are assumed to be dynamical variables. In section 3 the basis is laid for a version of '{\it discrete analysis}' which, starting from different, perhaps more physically oriented principles, manages to make contact with the much more abstract machinery of Connes et al. and may complement the latter approach. In section 4 a, as far as we can see, new concept of '{\it topological dimension}' in form of a '{\it degree of connectivity}' for graphs, networks and the like is developed. It is then indicated how this '{\it dimension}', which for continuous structures or lattices being embedded in a continuous background agrees with the usual notion of dimension, may change dynamically as a result of a '{\it phase transition like}' change in '{\it connectivity}' in the network. A certain speculative argument, along the lines of statistical mechanics, is supplied in favor of the naturalness of dimension 4 of ordinary (classical) space-time.

研究の動機と目的

• プランクスケールにおける時空および物理的真空中の離散的モデルを、細胞ネットワークフレームワークを用いて開発すること。
• 非可換幾何学（Connesら）と関連する物理的動機付けに基づく、離散的解析の基礎を確立すること。
• ネットワーク内の接続性の度合いに基づく、トポロジカル次元の新しい概念を導入すること。
• この次元が動的に変化する仕組みを探索し、古典的4次元時空の出現を説明できる可能性を検討すること。

提案手法

• 細胞と結合で構成される離散的セルラーネットワークとして時空をモデル化し、細胞の状態と結合の強さを両方とも動的変数として扱う。
• グラフやネットワークにおける「接続性の度合い」としての次元の新しい概念を定義し、連続多様体を超える一般化を図る。
• 統計力学に類似した議論を用いて、接続性の位相転移が次元の変化を引き起こす可能性を分析する。
• 特にConnesのアプローチに焦点を当て、この離散的枠組みと非可換幾何学の抽象的道具の間の対応関係を確立する。
• 連続多様体に依存せずに物理的力学を記述できるよう、このようなネットワーク上での離散的アナログの解析および微積分を定式化する。
• 接続性の変化に伴うネットワークの次元の変化を調査し、4次元での次元安定化のメカニズムを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的セルラーネットワークモデルは、特に次元性を含め、連続的時空の性質をどのように再現できるか？
• RQ2 グラフ内の接続性に基づく次元の新しい定義は、適切な極限において古典的時空次元と整合的になるか？
• RQ3 より基本的な離散的ネットワークから4次元時空が位相転移に類似した機構を通じて出現するための動的メカニズムは何か？
• RQ4 この離散的枠組みは、非可換幾何学の抽象的数学的道具とどのように関係するか？
• RQ5 このような離散的モデルにおいて、次元4が自然に出現する背後にある物理的原理は何か？

主な発見

• トポロジカル次元の新しい概念が、ネットワーク内の「接続性の度合い」として導入され、連続的または格子的構造では標準的な次元に還元される。
• ネットワークの接続性における位相転移に類似した変化により、次元が動的に変化しうることを示唆し、次元の進化のメカニズムを提示する。
• この枠組みは、次元4の出現に物理的根拠を提供し、次元4を支持する推測的統計力学的議論によって裏付けられる。
• 物理的動機付けに基づく原則を通じて、この離散的枠組みは非可換幾何学、特にConnesらの研究と橋渡しを行う。
• 連続極限に依存せずに、第一原理から離散的解析を構築し、連続多様体に依存しない離散的時空上の力学の基礎を提供する。