[論文レビュー] Discrete maximal regularity and the finite element method for parabolic equations

Tomoya Kemmochi, Norikazu Saito|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、線形および準線形放物型方程式に有限要素法を適用した場合の離散的最大正則性の版本を確立する。純虚数乗数作用素に基づく作用素論的技法を用い、質量積分 Lumping を施した有限要素スキームについて、$L^p(0,T;L^q(\theta))$ 範囲における最適誤差推定を導出する。この結果は、線形熱方程式および局所リプシッツ連続な非線形性を有する準線形問題に応用可能である。

ABSTRACT

Maximal regularity is a fundamental concept in the theory of partial differential equations. In this paper, we establish a fully discrete version of maximal regularity for a parabolic equation. We derive various stability results in $L^p(0,T;L^q(Ω))$ norm, $p,q\in (1,\infty)$ for the finite element approximation with the mass-lumping to the linear heat equation. Our method of analysis is an operator theoretical one using pure imaginary powers of operators and might be a discrete version of G.~Dore and A.~Venni (On the closedness of the sum of two closed operators. \emph{Math.\ Z.}, 196(2):189--201, 1987). As an application, optimal order error estimates in that norm are proved. Furthermore, we study the finite element approximation for semilinear heat equations with locally Lipschitz continuous nonlinearity and offer a new method for deriving optimal order error estimates. Some interesting auxiliary results including discrete Gagliardo-Nirenberg and Sobolev inequalities are also presented.

研究の動機と目的

• 放物型方程式に対する有限要素法を用いた離散的最大正則性理論の構築。
• 線形および準線形熱方程式について、$L^p(0,T;L^q(\theta))$ 範囲における安定性および最適誤差推定の導出。
• 強い正則性仮定を回避する、局所リプシッツ連続非線形性を有する準線形問題のための新たな誤差解析フレームワークの提供。
• 誤差解析の補助的ツールとして、離散 Gagliardo-Nirenberg 不等式および Sobolev 不等式の確立。

提案手法

• 純虚数乗数作用素に基づく作用素論的アプローチを採用し、Dore と Venni (1987) の研究にインspiredされる。
• 線形熱方程式の空間半離散化に質量積分 Lumping を施した有限要素法を用いる。
• Crank-Nicolson もしくは後退オイラー法による時間離散化と、時間方向の重み付き平均（θ法）を用いて完全離散スキームを定義する。
• スペクトル理論および$H^\infty$-関数計算を用いて、離散作用素の性質を分析する。
• すべての$p,q\in(1,\infty)$に対して、$L^p(0,T;L^q(\theta))$ 範囲における離散的最大正則性推定を導出する。
• 準線形問題における非線形項のグローバルリプシッツ連続性を要件としない、新たな方法により最適誤差境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限要素法を放物型方程式に適用した場合、完全離散的最大正則性のバージョンを確立できるか？
• RQ2 質量積分 Lumping を施した線形および準線形放物型問題について、$L^p(0,T;L^q(\theta))$ 範囲における最適誤差推定は何か？
• RQ3 時間離散化の選択（例：$\theta=0, 1/2, 1$）は、離散的最大正則性枠組みにおける収束順序にどのように影響するか？
• RQ4 このアプローチを用いて、局所リプシッツ連続な非線形性を有する準線形放物型方程式について、最適誤差推定を導出できるか？
• RQ5 離散 Gagliardo-Nirenberg 不等式および Sobolev 不等式は、有限要素スキームの誤差解析において果たす役割は何か？

主な発見

• 適切な時間刻み条件の下で、$\theta = 1/2$ または $\theta = 1$ の場合、質量積分 Lumping 有限要素法について、$L^p(0,T;L^q(\Omega))$ 範囲で最適誤差推定 $O(h^2 + \tau)$ が確立される。
• $\theta = 0$ の場合、$\tau = O(h^2)$ の条件下で $O(h^2)$ 収束が達成され、理論的境界と整合的である。
• スキーム (25) は、理論的予測と一致する最適収束率を示し、$\theta = 1/2$ および $\theta = 1$ の場合に $O(h^2)$ の観測順序を示す。
• 一方、代替スキーム (97) は理論的には $O(h)$ の誤差境界しか得られないが、数値結果では実際には $O(h^2)$ 収束を示しており、境界が非最適である可能性を示唆する。
• $\theta = 1$ の場合、スキーム (97) を用いた数値実験では、$h$ が小さくなるにつれて収束が遅くなり、$O(h^\alpha)$（$\alpha \in [1,2)$）に近づく傾向が見られ、最適順序の喪失の可能性を示唆する。
• 本稿では、$L^p(L^q)$ フレームワークにおける誤差解析に不可欠な、Gagliardo-Nirenberg 不等式および Sobolev 不等式の離散版を確立した。