[論文レビュー] Discrete maximal regularity of time-stepping schemes for fractional evolution equations

Bangti Jin, Buyang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2016

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Caputo微分係数の次数 $\alpha \in (0,2)\setminus\{1\}$ を持つ分数階進化方程式に、畳み込み・クワッドリチャチャ、L1、明示的エーラー、および分数階クランク・ニコルソン法といった時間積分スキームを適用した際の離散的最大 $\varepsilon^{p}$-正則性を確立する。主な貢献は、これらのスキームが $\varepsilon^{p}$-ノルムにおける最大正則性推定を継承することの証明であり、作用素値フーリエ乗数理論と離散的類似物を用いて、古典的放物型結果を時間分数型モデルへと拡張している。

ABSTRACT

In this work, we establish the maximal $\ell^p$-regularity for several time stepping schemes for a fractional evolution model, which involves a fractional derivative of order $α\in(0,2)$, $α eq 1$, in time. These schemes include convolution quadratures generated by backward Euler method and second-order backward difference formula, the L1 scheme, explicit Euler method and a fractional variant of the Crank-Nicolson method. The main tools for the analysis include operator-valued Fourier multiplier theorem due to Weis [48] and its discrete analogue due to Blunck [10]. These results generalize the corresponding results for parabolic problems.

研究の動機と目的

• 古典的放物型方程式における最大 $L^{p}$-正則性理論を、次数 $\alpha \in (0,2)\setminus\{1\}$ のCaputo微分係数を有する分数階進化方程式へと拡張すること。
• 畳み込み・クワッドリチャチャ、L1、明示的エーラー、および分数階クランク・ニコルソン法を含む時間積分スキームの離散的最大正則性を分析すること。
• 時間刻みサイズ $\tau$ に依存しない $\ell^{p}$-ノルムにおける安定性および正則性推定を、完全離散解に対して確立すること。
• Weis および Blunck の乗数定理を離散的かつ分数階の設定へと一般化し、分数時間離散化の文脈における作用素値フーリエ乗数の解析を可能にする。
• 非線形分数階PDEの数値解析の理論的基盤を提供し、高階ノルムにおける強い収束を保証すること。

提案手法

• Weis [48] の作用素値フーリエ乗数定理および Blunck [10] の離散的類似物を用いて、離散的状況における最大正則性を特徴付ける。
• 時間積分スキームを、ラプラス変換および $z$-変換領域における生成関数と記号解析を用いて分析し、関連する作用素族の $R$-有界性を検証する。
• 後退オイラー法および2次後退差分公式に基づく畳み込み・クワッドリチャチャの理論を応用し、安定性および正則性推定を導出する。
• L1スキームおよびクランク・ニコルソン法の分数階バージョンを用いて、Caputo微分 $\partial_t^\alpha u = Au + f$ を離散化し、$\ell^p$-空間における一貫性および安定性を保証する。
• 時間刻み $\tau$ に一様に成り立つ形で、$\|\tau^{-1}(u^n - u^{n-1})\|_{\ell^p(X)} + \|Au^n\|_{\ell^p(X)} \leq c_{p,X} \|f^n\|_{\ell^p(X)}$ のような離散的最大正則性推定を確立する。
• UMD性を満たすBanach空間 $X$ において離散推定が成り立つことを証明し、ラプラシアンの $R$-扇型性を用いて $L^q$-空間への拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $\alpha \in (0,2)\setminus\{1\}$ の分数階進化方程式に対する時間積分スキームは、$\ell^p$-ノルムにおける離散的最大正則性を継承するか？
• RQ2 Weis および Blunck の乗数定理は、離散的かつ分数階の設定に適応可能であり、時間離散作用素の $R$-有界性を確立できるか？
• RQ3 畳み込み・クワッドリチャチャスキーム（例：後退オイラー法およびBDF2）は、分数階拡散および拡散波方程式に対して、安定性および正則性の性質をどのように示すか？
• RQ4 L1スキームおよび分数階クランク・ニコルソン法は、$\alpha \in (0,1)$ および $\alpha \in (1,2)$ の場合に、離散的最大正則性においてどのように性能を発揮するか？
• RQ5 離散推定は、放物型問題に対する古典的結果をどの程度分数時間モデルへと一般化できるか？

主な発見

• 後退オイラー法および2次後退差分公式に基づく畳み込み・クワッドリチャチャにより、時間刻み $\tau$ に依存しない定数を有する離散的最大 $\ell^p$-正則性が確立された。
• L1スキームおよび明示的エーラー法も、$\alpha \in (0,1) \cup (1,2)$ の場合に $\ell^p$-ノルムにおける離散的最大正則性推定を満たし、分数型モデルへの安定性結果の拡張が達成された。
• 分数階クランク・ニコルソン法の変種が、離散的最大正則性を保持することが示され、安定性定数が $\tau$ に一様に成り立つことが確認された。
• 解析により、離散推定が古典的放物型結果を一般化することが確認され、分数階方程式に対しても $\alpha=1$ の場合と同一の $\ell^p$-正則性バインディングが成立することが示された。
• 有界領域 $\Omega$ 上のディリクレ・ラプラシアンに対して、$W^{2,q}$-ノルムにおける離散誤差は $\|(u^n - u(t_n))\|_{L^p(W^{2,q}(Ω))} \leq c_{p,q} \tau$ を満たし、強いノルムにおける最適収束が得られた。
• $L^q$-実現の $R$-扇型性が $1 < q < \infty$ に対して確立され、$L^q$-空間における乗数理論の適用が可能となり、主な正則性結果を支持するものとなった。