[論文レビュー] Discrete mechanics: a sequential growth dynamics for causal sets, and a self-organization of particles

Alexey L. Krugly|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、因果的集合に基づく離散的プリジオメトリックモデルを提案する。時空と粒子は、有限な基本的過程（モノード）の逐次的成長ダイナミクスから生じる。生成/消滅演算子と代数的表現を用いて、循環的過程（ループ）と因果的接続（フェルミオン的構造）が自己組織的に粒子的実体へと発現することを示し、ボーズおよびフェルミ場の離散的プロトフォームに一般化可能な有限で代数的な運動方程式によってダイナミクスが支配されることを示す。

ABSTRACT

A model of a discrete pregeometry on a microscopic scale is introduced. This model is a finite network of finite elementary processes. The mathematical description is a d-graph that is a generalization of a graph. This is the particular case of a causal set. The aim of this study is to construct the particles as emergent structures. The particles in this model must be cyclic processes. The general dynamics and several examples are given. A simple dynamics generates a hierarchy of cyclic processes. An algebraic representation of this dynamics is given. It is based on the algebra of creation and destruction operators. Loops are described by bosonic operators and causal connections are described by fermionic operators.

研究の動機と目的

• 連続的時空に依存しない、自己整合的な離散的量子粒子記述の構築。
• 基本的粒子を因果的集合フレームワーク内での自己組織的循環的過程としてモデル化すること。
• 因果的集合に階層的構造を逐次的成長によって生成するダイナミクスの構築。
• 生成/消滅演算子を用いた代数的形式主義を構築し、ループと因果的接続を表現すること。
• モノードとx構造のダイナミクスから、ボーズおよびフェルミ場の離散的プロトフォームがどのように生じるかの探求。

提案手法

• 時空をdグラフ（因果的集合の一般化）としてモデル化し、イベントを有限な基本的過程（モノード）として定義し、生成/消滅を表す。
• 因果的構造と確率の正規化に基づく確率的ルールに従う逐次的成長ダイナミクスを導入。
• 動的因果性と離散的一般相対性の原則を適用し、離散的レベルでの相対論的不変性を保証。
• x構造（モノードの集合）や外部モノードを定義し、状態ベクトルを物理的状態を符号化するものとする。
• 動的演算子Dの行列要素と数演算子Nを含む指数的確率振幅を用いて運動方程式を導出。
• ループにはボソン的演算子、因果的接続にはフェルミオン的演算子を用い、スピンオーダー（フェルミオン的）およびボーズ場の離散的プロトフォームを生成。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 根本的に離散的で因果的集合に基づくプリジオメトリックにおいて、粒子が安定した循環的過程としてどのように発現するか。
• RQ2 因果的集合の逐次的成長を支配する動的ルールは何か。自発的組織的構造を生じさせるか。
• RQ3 生成・消滅演算子の代数的形式主義が、物質（ループ）と因果的接続（フェルミオン的リンク）の両方をどのように表現できるか。
• RQ4 この因果的集合フレームワーク内での量子場理論（ボーズ／フェルミ）の離散的プロトフォームは何か。
• RQ5 運動方程式が微分方程式ではなく有限な代数的演算として表現可能か。そしてこれは量子重力に何を示唆するか。

主な発見

• モデルは、モノードの逐次的成長ダイナミクスを通じて粒子を発現的循環的過程として生成し、繰り返しの生成と消滅から安定構造が生じることを示す。
• 動的拡張の確率は代数的運動方程式で与えられる：$ P = C \exp[(\ln 2) \sum_{i=1}^{N} (q \sum_{s,r} \langle \mathcal{X}_{js} | \hat{D} | \mathcal{X}_{ir} \rangle - \langle \mathcal{A}_{ij} | L_{ij} \hat{N} | \mathcal{A}_{ij} \rangle)] $、この式は因果的構造とループ構造の両方を符号化している。
• ループはボソン的演算子で、因果的接続はフェルミオン的演算子で表現され、ボーズおよびフェルミ場の離散的プロトフォームが得られる。
• x構造内の外部モノードの状態ベクトルは4成分を有し、これはスピンオーダー場の離散的プロトフォームに相当する。
• モデルは「順序＋数＝物質＋幾何」の原理を実現し、因果的集合の「順序＋数＝幾何」の概念を、発現的物質を含む形に拡張する。
• ダイナミクスは非微分的かつ有限であり、確率は代数的演算によって構築される。これは、離散的プロトフォームの量子場理論を示唆する。