[論文レビュー] Discrete Mechanics and Optimal Control: an Analysis

S. Ober-Bloebaum, Oliver Junge+1 more|ArXiv.org|Oct 8, 2008

Numerical methods for differential equations被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、力学系の変分原理を直接離散化することで最適制御問題を解く構造保存型手法である離散力学と最適制御（DMOC）を紹介する。離散変分原理を用いて離散最適制御問題を定式化することで、DMOCは連続系から来るシンプレクティック性、運動量保存、エネルギー挙動を引き継ぎ、コロケーション法と比較して優れた収束性と計算コストの低減を実現する。

ABSTRACT

The optimal control of a mechanical system is of crucial importance in many realms. Typical examples are the determination of a time-minimal path in vehicle dynamics, a minimal energy trajectory in space mission design, or optimal motion sequences in robotics and biomechanics. In most cases, some sort of discretization of the original, infinite-dimensional optimization problem has to be performed in order to make the problem amenable to computations. The approach proposed in this paper is to directly discretize the variational description of the system's motion. The resulting optimization algorithm lets the discrete solution directly inherit characteristic structural properties from the continuous one like symmetries and integrals of the motion. We show that the DMOC approach is equivalent to a finite difference discretization of Hamilton's equations by a symplectic partitioned Runge-Kutta scheme and employ this fact in order to give a proof of convergence. The numerical performance of DMOC and its relationship to other existing optimal control methods are investigated.

研究の動機と目的

• 力学系の内在的な幾何学的・構造的性質を離散化の過程で保存する数値的最適制御フレームワークの構築を目的とする。
• 標準的なコロケーション法や間接法の限界を克服するため、系の運動方程式の変分構造を直接離散化することを目的とする。
• 構造的変数（配置）レベルのパrameterizationを活用することで、最適化における計算コストを低減することを目的とする。
• 収束性とシンプレクティックな分割ルンゲ＝クッタスキームへの等価性に関する理論的基盤を確立することを目的とする。
• 軌道移動やロボットアームの操作といった応用分野において、物理的整合性を保ちつつ効率的な最適制御問題の解法を可能とすることを目的とする。

提案手法

• 離散変分形式を用いてラグランジュ＝ダランベールの原理を離散化し、構造保存型時間ステップ式を導出する。
• 離散作用和と離散オイラー＝ラグランジュ方程式を用いて、最適制御問題を有限次元非線形計画問題として定式化する。
• 離散変分構造を通じて、離散解が連続系から来るシンプレクティック性、運動量マップ、エネルギー挙動を引き継ぐことを保証する。
• DMOCとシンプレクティックな分割ルンゲ＝クッタスキームとの等価性を確立し、理論的収束解析を可能にする。
• 最適化変数の数を削減するために、配置変数のみを用いた逐次二次計画法（SQP）ソルバを実装する。
• 低推力軌道移動や二リンクアームといったベンチマーク問題にこの手法を適用し、性能と構造保存性の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 力学系の変分構造を離散的最適制御定式化でどのように保存できるか？
• RQ2 DMOCと分割ルンゲ＝クッタスキームのような古典的なシンプレクティック積分法との関係は何か？
• RQ3 コロケーション法と比較して、DMOCは最適化反復回数をどの程度削減できるか？
• RQ4 実用的な最適制御問題において、DMOCは運動量マップやシンプレクティック性といった構造的不変量を保持できるか？
• RQ5 DMOCにおける配置変数レベルの定式化は、計算効率と収束速度にどのように影響を与えるか？

主な発見

• DMOCは、ハミルトン方程式のシンプレクティックな分割ルンゲ＝クッタ離散化と数学的に等価であり、長期的な安定性と幾何学的忠実性を保証する。
• コロケーション法と比較して、DMOCの定式化は最適化変数の数を約67％削減し、SQP反復回数を1.5倍低減する。
• 数値実験の結果、DMOCは配置変数および制御変数の軌道において、コロケーション法と比較してより速い収束速度を達成する。
• 低推力軌道移動や二リンクアームの例において、運動量マップとシンプレクティック構造の両方を効果的に保存している。
• 特に対称性と構造保存性が重要な場合に、DMOCは計算負荷を低減しつつ効率的な最適制御問題の解法を可能にする。
• DMOCプリミティブと適応的時間刻み幅制御を用いた今後の拡張は、複雑系におけるグローバル最適化と動的適応に有望である。