[論文レビュー] Discrete Quantum Processes

Stan Gudder|arXiv (Cornell University)|May 31, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、L²ヒルバート空間上の局所的量子状態の系列として離散的量子過程を導入し、それがシリンダ集合上に量子測度を生成することを示し、『2次代数』を介して物理的に意味のある集合のより広いクラスへ体系的に拡張可能であることを示している。主な貢献は、シリンダ集合を超える適切な集合へ量子測度を厳密に拡張することであり、これにより確率変数の作用素化を経て量子積分が定義可能となる。

ABSTRACT

A discrete quantum process is defined as a sequence of local states $ρ_t$, $t=0,1,2,...$, satisfying certain conditions on an $L_2$ Hilbert space $H$. If $ρ=\limρ_t$ exists, then $ρ$ is called a global state for the system. In important cases, the global state does not exist and we must then work with the local states. In a natural way, the local states generate a sequence of quantum measures which in turn define a single quantum measure $μ$ on the algebra of cylinder sets $\cscript$. We consider the problem of extending $μ$ to other physically relevant sets in a systematic way. To this end we show that $μ$ can be properly extended to a quantum measure $\mutilde$ on a "quadratic algebra" containing $\cscript$. We also show that a random variable $f$ can be "quantized" to form a self-adjoint operator $\fhat$ on $H$. We then employ $\fhat$ to define a quantum integral $\int fd\mutilde$. Various examples are given

研究の動機と目的

• グローバル状態が存在しない場合に、離散的量子過程をL²ヒルバート空間上の局所的状態の系列として形式化すること。
• シリンダ集合上で定義された量子測度μを、より広い物理的に意味のある集合のクラスへ拡張する課題に対処すること。
• シリンダ集合代数Cを適切に含む『2次代数』Sへ、量子測度μの体系的拡張を構築すること。
• 確率変数の作用素化により自己共役作用素f̂を定義し、量子積分∫fdμ̃を定義することで、量子期待値の計算を可能とすること。

提案手法

• Ωが経路または歴史を表すとき、H = L²(Ω, A, ν) 上の局所的状態ρₜの系列として離散的量子過程を定義する。
• デコherence関数Dρ(A,B) = ⟨ρχ_B, χ_A⟩ を用いて、シリンダ集合代数C上に測度μ(A) = lim ⟨ρₜχ_A, χ_A⟩ として量子測度μを構成する。
• lim ⟨ρₜχ_A, χ_A⟩ が存在し有限であるような『適切な』集合の集合S ⊇ Cを導入し、S上にμ̃(A) = lim ⟨ρₜχ_A, χ_A⟩ として新たな測度μ̃を定義する。
• Sが『2次代数』をなしており、μ̃がS上で有効な量子測度であり、μを拡張することを示す。
• 特徴関数のスペクトル構造を用いて、実数値確率変数fを自己共役作用素f̂に作用素化する。
• 量子積分を∫fdμ̃ = tr(ρf̂) として定義し、単純関数に対してはf̂の固有値分解を用いて計算し、一般関数に対しては極限操作により拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバル状態が存在しない場合に、シリンダ集合上で定義された量子測度μを、物理的に意味のある集合のより広いクラスへ体系的に拡張できるか。
• RQ2 lim ⟨ρₜχ_A, χ_A⟩ が存在し、一貫した量子測度を定義する集合の集まりの背後にある代数的構造は何か。
• RQ3 fが確率変数でμ̃が拡張された量子測度であるとき、量子積分∫fdμ̃はどのように定義され、計算可能か。
• RQ4 デコherence関数とその関連作用素が、局所的状態ρₜおよびそれらから得られる量子測度の構築において果たす役割は何か。
• RQ5 確率変数fを自己共役作用素f̂に作用素化することで、スペクトル分解を用いて量子積分をどのように計算できるか。

主な発見

• 適切な集合の集合Sは、シリンダ集合代数Cを適切に含む『2次代数』をなし、量子測度の体系的拡張を可能にする。
• 拡張された測度μ̃(A) = lim ⟨ρₜχ_A, χ_A⟩ はS上で有効な量子測度であり、C上の元の測度μを一般化する。
• 2サイトの量子ランダムウォークの例において、『粒子が原点を訪問する』という事象とその補集合はS ∖ Cに属するため、Sはシリンダ集合を超える物理的に意味のある事象を捉えていることが示された。
• 量子積分∫fdμ̃ はtr(ρf̂)として定義され、単純関数に対してはf̂の固有値分解を用いて計算可能である。
• 2値確率変数f = αχ_A + βχ_Bに対して、f̂の固有値は2次方程式を用いて明示的に求められ、量子積分の直接計算が可能となる。
• 包含除法則を用いた2値関数の一般化により、n値関数に対しても、固有値と状態の重なりを含む有限和として量子積分を計算可能となる。