[論文レビュー] Discrete Ramanujan-Fourier Transform of Even Functions (mod $r$)

Pentti Haukkanen|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、偶数の算術的関数を $ r $ を法として扱うための離散変換を確立し、その離散フーリエ変換（DFT）がラマヌジャンの和を用いて表現可能であることを示し、新たな変換である離散ラマヌジャン・フーリエ変換を導入する。主な貢献は、ラマヌジャンの和を用いたDFTおよび逆DFTの閉形式表現であり、数論的恒等式を用いて直交性および正規直交基底の性質が証明されている。

ABSTRACT

An arithmetical function $f$ is said to be even (mod r) if f(n)=f((n,r)) for all n\in\Z^+, where (n, r) is the greatest common divisor of n and r. We adopt a linear algebraic approach to show that the Discrete Fourier Transform of an even function (mod r) can be written in terms of Ramanujan's sum and may thus be referred to as the Discrete Ramanujan-Fourier Transform.

研究の動機と目的

• 偶数の算術的関数を $ r $ を法として扱うための特化された離散変換を開発すること。関数は $ f(n) = f((n,r)) $ で定義される。
• このような関数の標準的離散フーリエ変換（DFT）をラマヌジャンの和を用いて再定式化し、より数論的な解釈を可能にする。
• $ d \mid r $ に対して $ (r\phi(d))^{-1/2} C(\cdot, d) $ を用いて、$ r $ を法とする偶関数の空間に対する正規直交基底を確立すること。
• 2つの偶関数のカウチ積が、それらのラマヌジャン・フーリエ変換の点ごとの積に対応することを示し、変換構造を保存すること。

提案手法

• 本稿では、$ r $ を法とする周期関数の空間を、$ \mathbb{C}^r $ に同型である複素内積空間として線形代数的手法で扱い、標準正規直交基底 $ \{ r^{-1/2} \epsilon_k \} $ を用いる。ここで $ \epsilon_k(n) = \exp(2\pi i k n / r) $ である。
• 偶関数 $ f(n) = f((n,r)) $ を法として $ r $ に制限し、これは $ (n,r) $ のみに依存するため、$ r $ の約数における値によって完全に決定される。
• 数論的恒等式を用いて、集合 $ \{ (r\phi(d))^{-1/2} C(\cdot, d) \}_{d \mid r} $ が偶関数の部分空間 $ E_r $ における正規直交基底をなすことを証明する。その直交性関係は $ \sum_{e \mid r} C(r/e, d_1) C(r/e, d_2) \phi(e) = r\phi(d_1) \delta_{d_1 d_2} $ である。
• 内積を用いて離散ラマヌジャン・フーリエ変換を導出し、$ R_f(d) = \phi(d)^{-1} \sum_{n=1}^r f(n) C(n,d) $ とする。また、逆変換が $ f(n) = r^{-1} \sum_{d \mid r} R_f(d) C(n,d) $ で与えられることを示す。
• 標準DFTと新しい変換との関係を示し、$ F_f(k) = \sum_{e \mid r} f(e) C(k, r/e) $ であることを示し、したがって $ R_f(d) = F_f(r/d) $ が成り立つことを示し、両者の表現を結びつける。
• 偶関数のカウチ積の枠組みを拡張し、$ R_h(d) = R_f(d) R_g(d) $ を証明する。これはDFTの性質 $ F_h = F_f F_g $ に類似している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数の関数を $ r $ を法として扱うとき、その離散フーリエ変換（DFT）は完全にラマヌジャンの和で表現可能か？
• RQ2 $ r $ を法とする偶関数の空間に対する正規直交基底の構造は何か？また、ラマヌジャンの和とどのように関係しているか？
• RQ3 ラマヌジャンの和を用いて表現した場合、$ r $ を法とする偶関数の逆変換はどのように簡略化されるか？
• RQ4 2つの偶関数を $ r $ を法としてカウチ積したとき、そのラマヌジャン・フーリエ変換において乗法的構造が保存されるか？

主な発見

• 偶数の関数 $ f $ を $ r $ を法として扱う離散ラマヌジャン・フーリエ変換は、$ R_f(d) = \phi(d)^{-1} \sum_{n=1}^r f(n) C(n,d) $ で与えられ、これはラマヌジャンの和 $ C(n,d) $ を用いて表現される。
• 逆変換は $ f(n) = r^{-1} \sum_{d \mid r} R_f(d) C(n,d) $ で与えられ、$ r $ を法とするすべての偶関数がラマヌジャンの和の線形結合で表せることを示している。
• 集合 $ \{ (r\phi(d))^{-1/2} C(\cdot, d) \}_{d \mid r} $ は、$ r $ を法とする偶関数の空間における正規直交基底をなす。その次元は $ \tau(r) $、すなわち $ r $ の約数の個数に等しい。
• 偶関数のDFTは $ F_f(k) = \sum_{e \mid r} f(e) C(k, r/e) $ を満たし、したがってラマヌジャン・フーリエ変換は $ R_f(d) = F_f(r/d) $ を満たす。これにより、両変換が結びつけられる。
• 2つの偶関数 $ f, g $ を法としてカウチ積 $ h = f \circ g $ をとるとき、ラマヌジャン・フーリエ変換は $ R_h(d) = R_f(d) R_g(d) $ を満たす。これはDFTの畳み込み性質 $ F_h = F_f F_g $ に類似している。