[論文レビュー] Discrete scattering by two staggered semi-infinite defects: reduction of matrix Wiener-Hopf problem

Basant Lal Sharma|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2019

Ultrasonics and Acoustic Wave Propagation参考文献 84被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、正方格子上における二つの段差のある半無限に広がるき裂または剛性制約による離散的波の散乱に起因する行列ウィーナー・ホプフ問題の新規還元を提示する。問題を再定式化することにより、本質的に複雑な2×2行列カーネルの因子分解を、スカラー・ウィーナー・ホプフ因子分解によって得られる係数を持つ有限次元の線形代数方程式系の解法に還元し、正および負のオフセットの場合の正確な解が可能になる。

ABSTRACT

As an extension of the discrete Sommerfeld problems on lattices, the scattering of a time harmonic wave is considered on an infinite square lattice when there exists a pair of semi-infinite cracks or rigid constraints. Due to the presence of stagger, also called offset, in the alignment of the defect edges the asymmetry in the problem leads to a matrix Wiener-Hopf kernel that cannot be reduced to scalar Wiener-Hopf in any known way. In the corresponding continuum model the same problem is a well known formidable one which possesses certain special structure with exponentially growing elements on the diagonal of kernel. From this viewpoint the present paper tackles a discrete analogue of the same by reformulating the Wiener-Hopf problem and reducing it to a finite set of linear algebraic equations; the coefficients of which can be found by an application of the scalar Wiener-Hopf factorization. The considered discrete paradigm involving lattice waves is relevant for modern applications of mechanics and physics at small length scales.

研究の動機と目的

• 段差のある半無限板の境界がずれている場合の古典的連続体問題の離散的類似を扱う。
• 指数的位相因子を有する解けない行列ウィーナー・ホプフカーネルの課題を克服する。これは既知の因子分解法が存在しない。
• ゼロオフセット欠陥に関する先行研究を一般化し、欠陥間の水平オフセット（M）および垂直間隔（N）を組み込む。
• き裂および剛性制約の両配置について、近接端および遠方場の挙動を含めた散乱波場の正確な計算を可能にする。
• 正および負のオフセット間の対称性を活用し、上部および下部の端における波場を同時に評価するための枠組みを提供する。

提案手法

• 正方格子上に二つの段差のある半無限に広がる欠陥（き裂または剛性制約）を導入し、オフセットMおよび間隔Nを定義する。
• カーネルが[1, λ^N z^{-M}; λ^N z^M, 1]の形をとる行列ウィーナー・ホプフ方程式を導出する。ここでλおよびzはγおよびξの離散的類似である。
• 補助関数を導入することで行列ウィーナー・ホプフ問題を再定式化し、系を有限個の線形代数方程式に分離する。
• き裂の場合は|M|×|M|行列の逆行列に、剛性制約の場合は(|M|+2)×(|M|+2)行列の逆行列に解を還元し、係数はスカラー・ウィーナー・ホプフ因子分解により得られる。
• スカラー・ウィーナー・ホプフ法を用いて特徴関数を因子分解し、行列要素の明示的計算を可能にする。
• 正および負のオフセット間の対称性と符号反転写像を用い、上部および下部の端における波場の間のクロス関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 段差のある格子欠陥に起因する行列ウィーナー・ホプフカーネルは、非スカラー的で指数関数的に増大する構造を有するが、それでも解ける代数的系に還元可能か？
• RQ2 欠陥縁同士の水平オフセットMの存在が、離散的散乱問題の因子分解および解法にどのように影響するか？
• RQ3 オフセット符号を反転させた場合、上部および下部の端における波場の関係は何か？この関係は、両配置の同時評価に利用可能か？
• RQ4 離散モデルが、格子間隔がゼロに近づくにつれて、古典的連続体問題における段差のある板の挙動をどの程度再現できるか？
• RQ5 スカラー・ウィーナー・ホプフ因子は、特に周波数の虚部に依存する数値的安定性の観点から、解構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 段差のある欠陥に対する行列ウィーナー・ホプフ問題は、係数行列のサイズがオフセットの絶対値|M|に依存する有限次元線形代数方程式系の解法に還元される。
• き裂の場合は|M|×|M|、剛性制約の場合は(|M|+2)×(|M|+2)の行列となる。これは元の無限次元問題を顕著に簡略化する。
• 線形方程式系の係数は、特徴関数のスカラー・ウィーナー・ホプフ因子分解により決定され、解析的取り扱いが可能になる。
• 負のオフセットの場合の解は、垂直反転および位相調整を施した正のオフセットの場合の解から導出可能であり、両配置を対称的に取り扱える。
• 波場が変換された波成分と位相シフトの組み合わせによって関係づけられるとの主張（証明なし）が提示され、数値的に妥当性が裏付けられている。
• 数値的証拠から、二つのオフセット符号は周波数の虚部に関して異なる挙動を示す可能性があり、これは基礎となるスカラー・ウィーナー・ホプフ因子の構造的差異に起因すると考えられる。