[論文レビュー] Discrete Shilnikov attractor and chaotic dynamics in the system of five identical globally coupled phase oscillators with biharmonic coupling

Evgeny A. Grines, Alexei O. Kazakov+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、双曲的結合を有する5つの同一のグローバルに結合された位相オシレーター系において、離散的シルニコフ吸引状態の存在を示している。Poincaré写像の数値解析を用いて、Neimark-Sacker分岐に続くトーラス倍加分岐およびカオス的遷移という分岐系列を同定し、異常吸引状態が離散的シルニコフ状況によって生じることを確認した。吸引状態のホモクライニック構造は、流れに類似した挙動を示している。

ABSTRACT

We argue that a discrete Shilnikov attractor exists in the system of five identical globally coupled phase oscillators with biharmonic coupling. We explain the scenario that leads to birth of this kind of attractor and numerically illustrate the sequence of bifurcations that supports our statement.

研究の動機と目的

• 同一のグローバルに結合された位相オシレーター系におけるカオス的ダイナミクスの出現を調査すること。このような系は通常、同期的または周期的であるため。
• 鞍焦点固定点へのホモクライニック軌道を特徴とする離散的シルニコフ吸引状態が、このような系に出現するかどうかを特定すること。
• 双曲的結合を有する5オシレーター系において、奇妙な吸引状態が生じる分岐シナリオを同定すること。
• 吸引状態の幾何的構造および不変多様体、特に異常な流れに類似したホモクライニック配置を分析すること。

提案手法

• γ₃ = 1.2 におけるPoincaré断面を用いて、5次元ODE系を3次元Poincaré写像に還元すること。
• α = 1.6 および β = -1.58 を固定した状態で、結合パラメータ r を変化させながら系のダイナミクスを数値継続すること。
• カオスの発生を検出するためのリャプノフ指数の計算。正の最大リャプノフ指数は奇妙な吸引状態を示唆する。
• 鞍焦点固定点の安定・不安定不変多様体を構築・可視化し、ホモクライニック交差を特定すること。
• 3次元写像における離散的シルニコフ吸引状態の出現に際して、GGS12およびGGKT14のシナリオを用いること。
• 吸引状態と鞍焦点固定点との間の距離を分析し、r の増加に伴う収束を追跡すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的結合を有する5つの同一のグローバルに結合された位相オシレーター系において、離散的シルニコフ吸引状態が存在するか？
• RQ2 このような奇妙な吸引状態が出現するための分岐系列は何か？
• RQ3 離散的写像に存在するにもかかわらず、吸引状態のホモクライニック構造が連続的流れに類似しているのはなぜか？
• RQ4 吸引状態と鞍焦点固定点との距離を、分岐系列と定量的に関連づけることができるか？

主な発見

• 双曲的結合を有する5つの同一のグローバルに結合された位相オシレーター系において、数値的分岐解析により確認された離散的シルニコフ吸引状態が出現した。
• 吸引状態は、Neimark-Sacker分岐（r ≈ 0.1795）に続く、トーラス倍加分岐（r ≈ 0.185 および r ≈ 0.188）という分岐系列を通じて生じた。
• r = 0.1892 で正の最大リャプノフ指数が観測され、カオスの発生および奇妙な吸引状態の形成が示された。
• 吸引状態と鞍焦点固定点との距離は r ≈ 0.1892 で最小値に達し、最大のホモクライニック近接性を示唆した。
• 数値的証拠により、鞍焦点固定点の不安定多様体と安定多様体の交差が確認され、ホモクライニック構造の存在が裏付けられた。
• 離散的写像に存在するにもかかわらず、ホモクライニック構造は流れに類似した外観を示し、固定点近傍における連続的流れへの埋め込みの可能性を示唆した。