[論文レビュー] Discrete spectrum of a pair of nonsymmetric waveguides coupled by a window

D. I. Borisov|ArXiv.org|Dec 20, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、異なる幅を持つ2次元量子波導が有限な窓で結合された系の離散固有値スペクトルを分析する。漸近解析を用いて、窓長が臨界値を通過する際、連続スペクトルの閾値から生じる固有値の精密な展開を導出し、大規模な窓長における漸近的挙動を確立する。非対称な場合に、固有値が連続スペクトルの端にどのようにシフトし、集積するかを明らかにする。

ABSTRACT

In the paper we study the discrete spectrum of a pair of quantum two-dimensional waveguides having common boundary in which a window of finite length is cut out. We study the phenomenon of new eigenvalues emerging from the threshold of the essential spectrum when the length of window passes through critical values. We construct the asymptotics expansions for the emerging eigenvalues with respect to small parameter which is the difference between current length of the window and the nearest critical value. We also study the behaviour of the spectrum when the length of the window increases unboundedly and construct asymptotics expansions with respect to great parameter which is a length of the window.

研究の動機と目的

• 異なる幅を持つ2次元量子波導が有限な窓で結合された系において、離散固有値がどのように出現するかを調査すること。
• 連続スペクトルの閾値から新たな固有値が出現する臨界窓長を特定すること。
• 臨界値の近くで窓長の関数として、これらの出現固有値の漸近的展開を導出すること。
• 窓長が無限大に近づく際の離散スペクトルの挙動を調査し、固有値のシフトや連続スペクトルに近づく集積現象を明らかにすること。

提案手法

• 2つの平行なストリップが長さ $2l$ の窓で接続された領域におけるディリクレラプラシアンとして、スペクトル問題を定式化する。
• $L^2(\Pi)$ 上での自己共役作用素 $H_l$ を、ラプラシアンのフレーリングス拡張を用いて定義する。
• 臨界窓長 $l \to l_n^\pm$ の極限における漸近解析を、摂動理論および作用素の分解を用いて行う。
• 固有関数を波導領域と窓領域の成分に分解し、境界積分方程式を用いてそれらを関連付ける。
• 固有値を特定する非線形方程式 $k(l)$ を導出するための重要な式 (5.14) を得る。この式は散乱断面積と摂動作用素を含む。
• 窓長 $l$ が大きい場合の固有値の漸近的挙動を、$\sin kl = \mathcal{O}(l^{-1})$ または $\cos kl = \mathcal{O}(l^{-1})$ の位相条件に従って分析することで確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称な波導において、窓長が臨界値に達する際、連続スペクトルの閾値から新たな離散固有値がいつ出現するか。
• RQ2 窓長が臨界値より小さくまたは大きく近づく際、固有値はどのように漸近的に振る舞うか。
• RQ3 窓が小さい領域において、臨界長の近くで固有値の漸近的展開はどのように得られるか。
• RQ4 窓長が無限大に近づく際、離散スペクトルはどのように変化するか。また、固有値の極限的挙動は何か。
• RQ5 固有関数の対称性（$x_1$ に関する偶関数・奇関数）は、固有値の漸近的構造にどのように影響を与えるか。

主な発見

• 窓長が臨界値 $l_n$ を通過する際、連続スペクトルの閾値から新たな固有値が出現する。最初の臨界値は $l_1 = 0$ である。
• 臨界値 $l_n$ の近くで出現する固有値に対して、漸近的展開 $\lambda_m(l) = \varkappa^2 + k^2(l)$ が成り立つ。ここで $k(l) = \pi q / l + \mathcal{O}(l^{-2})$（$m$ が偶数のとき $q = m/2$）、$k(l) = \pi(2q+1)/(2l) + \mathcal{O}(l^{-2})$（$m$ が奇数のとき）であり、対称性に依存する。
• 窓長が大きい場合、固有値は $kl = \pi q + \mathcal{O}(l^{-1})$ または $kl = \pi/2 + \pi q + \mathcal{O}(l^{-1})$ を満たし、$l \to \infty$ のとき $\lambda_m(l) \to \varkappa^2 + \pi^2 m^2 / (4l^2)$ となる。これにより、固有値が $\varkappa^2$ の近くに集積することが示される。
• 出現する固有値に対応する固有関数は、窓付近に局在化しており、結合領域から離れるに従い指数関数的に振幅が減少する。
• 離散固有値の数は窓長に従い増加し、$l$ が大きい場合には固有値が $\varkappa^2$、すなわち連続スペクトルの下限に集積する。
• 偶関数・奇関数の両方の固有関数に対して、漸近的展開は有効であり、固有値構造を決定する異なる位相条件（$\sin kl$ または $\cos kl$）が存在する。