[論文レビュー] Discrete stress-energy tensor in the loop O(n) model

Dmitry Chelkak, Alexander Glazman+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2016

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 32被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、ヘキサゴナル格子上のループ O(n) モデルに対して局所的な非平面な変形を用いて離散的なストレssエネルギー張量を導入し、コーシー・リーマン方程式の離散版を満たす観測可能量を構成する。n=1（イジング模型）の場合、離散的ストレssエネルギー張量が連続的正則ストレssエネルギー張量に収束することを証明し、相関関数が中心電荷 c=1/2 の2次元共形場理論（CFT）と一致することを示す。

ABSTRACT

We study the loop $O(n)$ model on the honeycomb lattice. By means of local non-planar deformations of the lattice, we construct a discrete stress-energy tensor. For $n\in [0,2]$, it gives a new observable satisfying a part of Cauchy-Riemann equations. We conjecture that it is approximately discrete-holomorphic and converges to the stress-energy tensor in the continuum, which is known to be a holomorphic function with the Schwarzian conformal covariance. In support of this conjecture, we prove it for the case of $n=1$ which corresponds to the Ising model. Moreover, in this case, we show that the correlations of the discrete stress-energy tensor with primary fields converge to their continuous counterparts, which satisfy the OPEs given by the CFT with central charge $c=1/2$. Proving the conjecture for other values of $n$ remains a challenge. In particular, this would open a road to establishing the convergence of the interface to the corresponding $\mathrm{SLE}_κ$ in the scaling limit.

研究の動機と目的

• ヘキサゴナル格子上のループ O(n) モデルにおける無限小格子変形を用いて、離散的ストレssエネルギー張量を定義すること。
• n ∈ [-2, 2] の範囲で、コーシー・リーマン方程式の離散版を満たす観測可能量を構成すること。
• イジング模型の場合（n=1）に、離散的ストレssエネルギー張量およびその相関関数が連続的正則ストレssエネルギー張量に収束することを証明すること。
• 一次場との相関関数が、中心電荷 c=1/2 の2次元 CFT におけるものに収束することを確立すること。
• 一般の n に対して、界面がスケーリング極限で SLEκ に収束することの証明の基盤を築くこと。

提案手法

• ヘキサゴナル格子の局所的非平面な変形を用いて、エッジ成分 𝒯_edge およびミッドエッジ成分 𝒯_mid の離散的ストレssエネルギー張量成分を定義する。
• エッジ成分とミッドエッジ成分を組み合わせて、複素数値の観測可能量 𝒯 を構成する。
• 角座標特異点を用いた無限小変形を適用し、張量が離散的正則性と関連することを示す。
• フェルミオン的観測可能量とスピンル場を用いて、イジング模型における期待値および相関を計算する。
• 離散的フェルミオン的観測可能量の s-ホロモルフィーおよび収束結果を用いて、スケーリング極限を確立する。
• グリーン関数の漸近的解析および離散微分を用いて、連続極限への収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ループ O(n) モデルにおけるヘキサゴナル格子上に、一貫した離散的ストレssエネルギー張量を定義できるか？
• RQ2 n ∈ [-2, 2] の範囲で、離散的ストレssエネルギー張量がコーシー・リーマン方程式の離散版を満たすか？
• RQ3 イジング模型（n=1）の場合、離散的ストレssエネルギー張量と一次場との相関関数は、連続的対応物に収束するか？
• RQ4 n=1 の場合、離散的ストレssエネルギー張量は連続極限で正則ストレssエネルギー張量に収束するか？
• RQ5 一般の n に対して、張量の予想される離散的正則性が証明可能か？その結果、スケーリング極限で SLEκ に収束することが可能か？

主な発見

• 局所的な非平面な格子変形を用いて、ループ O(n) モデルに離散的ストレssエネルギー張量が成功裏に構成された。
• n=1（イジング模型）の場合、離散的ストレssエネルギー張量は連続極限で正則ストレssエネルギー張量に収束した。
• 離散的ストレssエネルギー張量と一次場との相関関数は、中心電荷 c=1/2 の2次元 CFT におけるものに収束した。
• 離散的フェルミオン的観測可能量は、特異点を除くコンパクト集合上で一様にその連続的対応物に収束した。
• イジング模型の場合、離散的ストレssエネルギー張量は離散的シュワーツ型共形共変性を満たした。
• 一般の n に対して、界面が SLEκ に収束することの道筋が提供されたが、n ≠ 1 の場合、これは未解決のままである。