[論文レビュー] Discrete Sums of Geometric Brownian Motions, Annuities and Asian Options

Dan Pirjol, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、離散時間における幾何 Brown 動的運動（GBM）の和の確率分布を分析し、年金保険における確率的年金やアジア・オプション評価における応用を焦点とする。有限和、無限和、幾何的に停止された和の尾部漸近的性質および漸近的分布関数を導出し、時間刻みがゼロに近づく極限において、離散時間の和が連続時間積分分布に収束することを確立する。

ABSTRACT

The discrete sum of geometric Brownian motions plays an important role in modeling stochastic annuities in insurance. It also plays a pivotal role in the pricing of Asian options in mathematical finance. In this paper, we study the probability distributions of the infinite sum of geometric Brownian motions, the sum of geometric Brownian motions with geometric stopping time, and the finite sum of the geometric Brownian motions. These results are extended to the discrete sum of the exponential Lévy process. We derive tail asymptotics and compute numerically the asymptotic distribution function. We compare the results against the known results for the continuous time integral of the geometric Brownian motion up to an exponentially distributed time. The results are illustrated with numerical examples for life annuities with discrete payments, and Asian options.

研究の動機と目的

• 離散時間における幾何 Brown 動的運動（GBM）の有限和、無限和、幾何的に停止された和の分布的性質を分析すること。
• 結果を指数 Lévy 確率過程の離散和に拡張し、連続時間極限と比較すること。
• これらの和の尾部漸近的性質を導出し、漸近的分布関数を数値的に計算すること。
• 離散時間の結果と、指数分布時間までの GBM 積分に関する既知の連続時間結果を比較すること。
• 離散払いの生命年金およびアジア・オプション評価のための数値的例示を提供すること。

提案手法

• 離散時間点における GBM の和をモデル化するために確率的再帰方程式を用いる。
• 幾何分布に従う確率的停止時刻の理論を用いて、幾何的に停止された和を分析する。
• モーメント推定と Brown 動的運動の増分を用いて、離散和と連続時間積分の差の上限を導出する。
• 弱収束の議論を用いて、離散時間過程が連続時間過程に収束することを示す。
• $ m - \frac{1}{2}\sigma^2 < 0 $ の条件下で、GBM の無限和の極限分布として逆ガンマ分布を用いる。
• 時間刻み $ \tau \to 0 $ の極限において、離散和の分布が GBM の連続時間積分に分布収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフトが $ m - \frac{1}{2}\sigma^2 < 0 $ を満たすとき、幾何 Brown 動的運動の無限和の極限分布は何か？
• RQ2 GBM の有限和の分布の尾部は漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ3 時間刻み $ \tau \to 0 $ のとき、GBM の離散和が連続時間積分に収束する速度は何か？
• RQ4 離散和の結果は、指数分布時間までの GBM 積分に関する既知の連続時間結果とどのように比較できるか？
• RQ5 資産リターンが GBM モデルに従う場合、離散的な確率的年金の現在価値の分布は何か？

主な発見

• ドリフトが $ m - \frac{1}{2}\sigma^2 < 0 $ を満たすとき、GBM の無限和は逆ガンマ分布に分布収束する。極限密度は $ \phi_{\infty}(z) = \left(\frac{2}{\sigma^2}\right)^{1 - \frac{2m}{\sigma^2}} \frac{1}{z^2} \exp\left(-\frac{2}{\sigma^2 z}\right) / \Gamma\left(1 - \frac{2m}{\sigma^2}\right) $ で与えられる。
• 時間刻み $ \tau \to 0 $ のとき、離散和と連続時間積分の差は確率的にゼロに収束し、誤差は $ R_\tau \to 0 $ で有界である。
• 幾何的に停止された和の極限分布は、指数分布時間 $ T_\lambda $ までの連続時間積分に収束し、$ \lambda $ はレートパラメータである。
• 離散和の累積分布関数が連続積分の分布関数に弱収束することを示した。
• 数値例は理論的結果を確認しており、年金評価およびアジア・オプション評価において、離散モデルと連続モデルの間で良好な一致が得られている。
• 和の分布の尾部漸近的性質が導出され、極値において重尾的挙動が示された。これは、保険および金融分野におけるリスク管理において重要である。