[論文レビュー] Discrete time approximation of coalescing stochastic flows on the real line

Iryna Nishchenko|arXiv (Cornell University)|May 19, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、実数直線上の共鳴確率的フロー、特にアラティア・フローの離散時間近似を、独立した定常ガウス過程を摂動として用いて構築する。共分散関数の滑らかさと時間刻みの制御により、近似過程の弱収束をアラティア・フローに確立し、共鳴を伴う特異確率的フローの数値フレームワークを提供する。

ABSTRACT

In this paper we have constructed an approximation for the Harris flow and the Arratia flow using a sequence of independent stationary Gaussian processes as a perturbation. We have established what should be the relationship between the step of approximation and smoothness of the covariance of the perturbing processes in order to have convergence of the approximating functions to the Arratia flow.

研究の動機と目的

• 標準的な確率微分方程式（SDE）にガウス・ホワイトノイズを用いて生成されない、特にハリスおよびアラティア・フローを含む共鳴確率的フローのための離散時間近似スキームを開発すること。
• 摂動過程の共分散関数における特異性が、軌道の共鳴を可能にする構造的役割を理解すること。
• 離散近似がスコロホドまたはレヴィ＝プロホロフ位相において真のフローに弱収束するための条件を確立すること。
• SDEの数値近似手法と、軌道の共鳴を伴うより複雑な動的特性を示す特異確率的フローの間のギャップを埋めること。

提案手法

• 共分散 $ \Gamma $ を持つ独立した定常ガウス過程 $ \xi_n $ を用いて、$ x_{n+1}(u) = x_n(u) + \xi_{n+1}(x_n(u)) $ による離散時間確率過程を定義する。
• 不変性原理とモーメント推定を用いて、離散過程の1点および2点運動を分析する。
• 滑らかさを制御するため、摂動過程の共分散を $ \Gamma_{\varepsilon_n}(u) = \frac{1}{\varepsilon_n} \int \psi_{\varepsilon_n}(p)\psi_{\varepsilon_n}(u+p)\,dp $ と正規化する。ここで $ \psi \in C^\infty_0 $ である。
• 滑らかにしたノイズを用いたSDEの解との差に対する $ L^2 $-推定を確立する。
• レヴィ＝プロホロプ距離およびスコロホド距離を用いて、離散過程がアラティア・フローに弱収束することを証明する。
• 離散過程が滑らかにしたSDEの解と同一分布に従うという事実を用い、収束結果を移転する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動ガウス過程の共分散関数にどのような条件下で、離散近似がアラティア・フローに収束するか。
• RQ2 時間刻みと共分散関数の滑らかさとの相互作用が、極限における軌道の共鳴にどのように影響するか。
• RQ3 滑らかな係数を有する標準SDEと同様の原理を用いて、共鳴フローのための離散近似スキームを正当化できるか。
• RQ4 滑らかにした共分散関数 $ \Gamma_{\varepsilon_n} $ の選択が、収束速度および極限フローの位相にどの程度影響を及えるか。
• RQ5 適切にスケーリングされた $ \varepsilon_n $ と $ n $ の下で、離散近似は $ D([0,1]) $ においてアラティア・フローに弱収束するか。

主な発見

• 共分散 $ \Gamma $ が $ C^2 $ かつ有界であれば、$ x_{n+1}(u) = x_n(u) + \frac{1}{\sqrt{m}} \xi_n(x_n(u)) $ により構築される離散近似 $ x_n^{m} $ は、$ C([0,1]) $ において滑らかなノイズを用いたSDEの解に弱収束する。
• $ m $-点運動に関して、正規化された過程 $ \widetilde{x}_n(u,t) $ は、$ \Gamma \in C^2 $ かつ共分散が $ \frac{1}{\sqrt{n}} \Gamma $ にスケーリングされている条件下で、$ C([0,1], \mathbb{R}^l) $ においてハリス・フローの $ l $-点運動に弱収束する。
• 滑らかにしたSDEの解 $ z_{\varepsilon_n} $ に対する近似誤差は、$ E\| \widetilde{x}_n - z_{\varepsilon_n}(\cdot,1) \| \leq \frac{C'}{\sqrt{n}} \exp\{ (C''L^2_{\varepsilon_n} + C'''L^4_{\varepsilon_n}) e^{4L^2_{\varepsilon_n}} + L^2_{\varepsilon_n} \} (L^2_{\varepsilon_n} + 1) $ を満たす。ここで $ L^2_{\varepsilon_n} = \frac{1}{\varepsilon_n} \int \psi'(p)^2 dp $ である。
• $ \frac{1}{\varepsilon_n^2} = o(\ln \ln n) $ の条件下で、離散過程 $ x_n^n $ は $ D([0,1]) $ においてアラティア・フロー $ x(\cdot,1) $ に弱収束する。
• 収束は、滑らかにしたSDEの解と同一分布に従うという事実と、レヴィ＝プロホロフ距離の使用により確立され、これは極限の連続点における収束を意味する。