[論文レビュー] Discrete time approximation of decoupled Forward-Backward SDE driven by pure jump Lévy-processes

Soufiane Aazizi|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、無限活性性を持つ純跳躍Lévy過程（ν(R) = ∞）によって駆動される分離型前向き・後向き確率微分方程式（FBSDEs）を解くための2段階の離散時間数値スキームを提案する。まず、分散マッチング手法を用いて小規模なジャンプをブラウン運動で近似する。次に、その結果得られるブラウン運動およびポアソン成分を有するFBSDEに対して、オイラー型スキームを適用する。主な結果は、時間刻みの大きさが0に近づくにつれて、数値スキームが真の解に収束することであり、誤差の上限は小ジャンプの分散と時間離散化に依存する。

ABSTRACT

We present a new algorithms to discretize a decoupled forward backward stochastic differential equations driven by pure jump Lévy process (FBSDEL in short). The method is built in two steps. Firstly, we approximate the FBSDEL by a forward backward stochastic differential equations driven by a Brownian motion and Poisson process (FBSDEBP in short), in which we replace the small jumps by a Brownian motion. Then, we prove the convergence of the approximation when the size of small jumps $\eps$ goes to 0. In the second step, we obtain the $L^p$ Hölder continuity of the solution of FBSDEBP and we construct two numerical schemes for this FBSDEBP. Based on the $L^p$ Hölder estimate, we prove the convergence of the scheme when the number of time steps $n$ goes to infinity. Combining these two steps leads to prove the convergence of numerical schemes to the solution of FBSDEL.

研究の動機と目的

• 無限活性性を持つ純跳躍Lévy過程（すなわち ν(R) = ∞）によって駆動される分離型前向き・後向きSDEsのための数値スキームの開発。
• 特に小ジャンプを切り捨てられない状況において、無限活性性ジャンプケースにおける効率的でない数値手法の欠如に対処すること。
• 小ジャンプの近似と離散時間オイラー型離散化を組み合わせることで、数値スキームの収束を確立すること。
• 時間刻みによる離散化における誤差制御を可能にするために、近似されたFBSDEの解のLp-ホルダー連続性を確立すること。

提案手法

• 小ジャンプ（|e| ≤ ε）を、σ(ε) = (∫|e|≤ε e² ν(de))¹ᐟ² でスケーリングされたブラウン運動に置き換えることで、元のFBSDEを純跳躍Lévy過程で近似する。
• ε → 0 のとき、近似されたFBSDEの解が元の解に収束することを証明し、誤差が σ(ε)² で有界であることを示す。
• 時間変数および状態変数に関して、近似されたFBSDEの解のLp-ホルダー連続性を確立し、離散化における誤差制御を可能にする。
• 時間グリッドを均等にとり、後向き成分に対して条件付き期待値を用いることで、近似されたFBSDEのオイラー型離散時間スキームを構築する。
• マルヤビン微積分と事前推定を用いて、解の導関数を制御し、スキームの安定性を保証する。
• 2段階を統合：時間刻みの大きさ |π| → 0 のとき、全体の数値スキームが真の解に収束することを示し、誤差率が |π|¹⁻¹/log(1/|π|) と σ(ε)² に依存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限活性性を持つ純跳躍Lévy過程によって駆動される分離型FBSDEsに対して、離散時間数値スキームを構築できるか？
• RQ2 小ジャンプをブラウン運動で近似することで、ジャンプサイズ ε → 0 のとき、元のFBSDEの一致近似が得られるか？
• RQ3 ブラウン運動およびポアソン成分を有する近似されたFBSDEにオイラー型スキームを適用したときの収束速度は何か？
• RQ4 離散化誤差を制御するために、解のLp-ホルダー連続性をどのように確立できるか？
• RQ5 小ジャンプ近似と時間離散化を組み合わせた2段階スキームの全体的な収束速度は何か？

主な発見

• 元のFBSDEの解と小ジャンプ近似との間の誤差は σ(ε)² で有界であり、ε → 0 のとき収束が保証される。
• 近似されたFBSDEの解のLp-ホルダー連続性が確立され、時間離散化における誤差制御が可能になる。
• 近似されたFBSDEに適用されたオイラー型スキームは、時間刻みの大きさ |π| → 0 のとき解に収束し、誤差が C(|π|¹⁻¹/log(1/|π|) + σ(ε)²) で有界である。
• 前向きおよび後向き成分の両方において、L²の意味で収束が達成され、小ジャンプの分散と時間グリッドの細分化を含む明示的な誤差上限が得られる。
• 解のマルヤビン微分のための事前推定が導出され、スキームの有界性と安定性を保証する。
• 係数に関する標準的なリプシッツ条件および可積分性条件の下で収束結果が成り立ち、ジャンプ強度測度 ν に明示的な依存関係を示す。