[論文レビュー] Discrete time quantum walk model for single and entangled particles to retain entanglement in coin space

C. M. Chandrashekar|ArXiv.org|Sep 15, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、追加の自由度を有する修正されたユニタリシフト演算子 $U^\prime$ を導入することで、コイン空間におけるもつれを保存する離散時間量子ウォークモデルを提案する。これにより、各ステップごとに繰り返しハダマード操作を実行する必要がなくなる。もつれた粒子対に対しては、$N$ ステップ後、粒子が同時に検出される確率が50%、別々の位置にいる確率が50%となることが保証され、実験的実行回数が1/3削減される。

ABSTRACT

In most widely discussed discrete time quantum walk model, after every unitary shift operator, the particle evolves into the superposition of position space and settles down in one of its basis states, loosing entanglement in the coin space in the new position. The Hadamard operation is applied to let the particle to evolve into the superposition in the coin space and the walk is iterated. We present a model with a additional degree of freedom for the unitary shift operator $U^{\prime}$. The unitary operator with additional degree of freedom will evolve the quantum particle into superposition of position space retaining the entanglement in coin space. This eliminates the need for quantum coin toss (Hadamard operation) after every unitary displacement operation as used in most widely studied version of the discrete time quantum walk model. This construction is easily extended to a multiple particle quantum walk and in this article we extend it for a pair of particles in pure state entangled in coin degree of freedom by simultaneously subjecting it to a pair of unitary displacement operators which were constructed for single particle. We point out that unlike for single particle quantum walk, upon measurement of its position after $N$ steps, the entangled particles are found together with 1/2 probability and at different positions with 1/2 probability. This can act as an advantage in applications of the quantum walk. A special case is also treated using a complex physical system such as, inter species two-particle entangled Bose-Einstein condensate, as an example.

研究の動機と目的

• 標準的な離 discrete-time 量子ウォークにおいて、各ユニタリシフト後にコイン空間のもつれが失われる問題に対処すること。
• 標準モデルにおける各移動後に繰り返しハダマード操作（量子コインの投げ直し）を必要としないようにすること。
• もつれを維持したままコイン空間での時間発展が可能なように、2粒子もつれ系にモデルを拡張すること。
• もつれ walker システムにおける量子的挙動を確認するために必要な実験的実行回数を削減できることを示すこと。
• 例えば、二種類の原子からなる2粒子ボーズ＝アインシュタイン凝縮系のような物理的実装可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• コイン空間における重ね合わせ状態ともつれを維持できるように、追加の自由度を有する修正ユニタリシフト演算子 $U^\prime$ を導入すること。
• $U^\prime$ を定義し、粒子を位置の重ね合わせ状態に進化させつつも、コイン状態におけるもつれを維持できるようにすること。
• 単一粒子用の $U^\prime$ をテンソル積 $U^\prime_{12} = U_1 \otimes U_2$ を用いて2粒子系に拡張し、もつれた粒子の同時発展を実現すること。
• 具体的な物理系（例えば、超冷却原子におけるレーザー駆動の刺激的ラマン遷移）に対して $U_1$ と $U_2$ の明示的表現を構築すること。
• 二種類の原子からなるもつれボーズ＝アインシュタイン凝縮系に対して、初期状態 $|\psi_0\rangle_{BEC} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0,x_0\rangle_1|1,x_0\rangle_2 + i|1,x_0\rangle_1|0,x_0\rangle_2)_{BEC}$ を定義すること。
• 20ステップおよび100ステップの確率分布をシミュレートし、ウォークのダイナミクスともつれの維持状況を可視化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各ユニタリシフト後にハダマード操作を必要とせず、コイン空間のもつれが保存されるような離散時間量子ウォークを構築できるか？
• RQ2 2粒子もつれ量子ウォークの挙動は、単一粒子系と比較して測定統計にどのように差が現れるか？
• RQ3 $N$ ステップ後の量子ウォークにおいて、もつれた粒子が同時に検出される確率分布はどのように変化するか？
• RQ4 このモデルは、二種類の粒子からなるもつれボーズ＝アインシュタイン凝縮のような複雑な系において物理的に実現可能か？
• RQ5 繰り返しハダマード操作が不要であることで、量子的挙動を確認するために必要な実験的実行回数が減少するか？

主な発見

• 修正されたユニタリ演算子 $U^\prime$ は、各移動後にコイン空間のもつれを保存し、繰り返しハダマード操作の必要性を排除する。
• もつれた粒子対に対しては、$N$ ステップ後の測定で、両粒子が同じ位置にいる確率が50%、別々の位置にいる確率が50%となる。
• 別々の位置に検出される50%の確率が、量子的挙動を確認するために必要な実験的実行回数を、標準モデルと比較して約1/3削減する。
• 超冷却原子におけるレーザー駆動の刺激的ラマン遷移を用いた物理的実装が可能であり、このような系に対して明示的なユニタリ演算子が導出された。
• 20ステップおよび100ステップのシミュレーションでは、確率分布にゆっくり動くピークが高密度に集中しており、モデルの頑健性とコherently な状態の維持が示された。
• 特に二種類の原子からなるもつれボーズ＝アインシュタイン凝縮系の特殊な場合、各ステップ後に原点に局在化した大きな振幅が残り、その割合が徐々に減少する。