[論文レビュー] Discrete transparent boundary conditions for the linearized Green-Naghdi system of equations

Maria Kazakova, Pascal Noble|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2017

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ステアガード格子およびコラティッド格子におけるCrank-Nicolson時間離散化を用いて、線形化されたグリーン＝ナグディ方程式に対する離散的で透過性のある境界条件を導出する。Z変換の逆変換により、反射のない波の注入と吸収を可能にする。コラティッド格子では安定な数値的逆変換が可能であり、ステアガード格子では明示的な逆変換が可能である。ガウス分布および波パケット初期データを用いた数値的検証により、高精度が確認された。

ABSTRACT

In this paper, we introduce artificial boundary conditions for the linearized Green-Naghdi system of equations. The derivation of such continuous (respectively discrete) boundary conditions include the inversion of Laplace transform (respectively Z-transform) and these boundary conditions are in turn non local in time. In the case of continuous boundary conditions, the inversion is done explicitly. We consider two spatial discretisations of the initial system either on a staggered grid or on a collocated grids, both of interest from the practical point of view. We use a Crank Nicolson time discretization. The proposed numerical scheme with the staggered grid permits explicit Z-transform inversion whereas the collocated grid discretization do not. A stable numerical procedure is proposed for this latter inversion. We test numerically the accuracy of the described method with standard Gaussian initial data and wave packet initial data which are more convenient to explore the dispersive properties of the initial set of equations. We used our transparent boundary conditions to solve numerically the problem of injecting propagating (planar) waves in a computational domain.

研究の動機と目的

• 境界領域で正確な波動伝播シミュレーションを可能にするために、線形化グリーン＝ナグディ系に対する正確な透過境界条件を開発すること。
• 連続的透過境界条件を、Crank-Nicolson時間離散化におけるZ変換の逆変換を用いて離散的設定に拡張すること。
• ステアガード格子およびコラティッド格子の両方で、数値スキームの安定性と精度を保証すること。
• ガウス分布および波パケット初期データを用いた数値的検証により、分散性波動の挙動を評価すること。
• 本手法が、反射のない平面波の注入および出射波の吸収において有効であることを示すこと。

提案手法

• ラプラス変換の逆変換により連続的透過境界条件を導出し、その後、Z変換の逆変換を用いて離散系に適応する。
• 線形化グリーン＝ナグディ方程式にCrank-Nicolson時間離散化を、ステアガード格子およびコラティッド格子の両方で適用する。
• ステアガード格子の場合、Z変換を明示的に逆変換して、明示的境界条件を導出する。
• コラティッド格子の場合、明示的逆変換が不可能であるため、Z変換の安定な数値的逆変換手順を開発する。
• 解を入射波とコンパクトにサポートされた摂動に分解することで、境界条件のソース項を導出する。
• 領域境界における離散的波動ダイナミクスに一致するように境界条件を実装し、反射のない挙動を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z変換の逆変換を用いて、線形化グリーン＝ナグディ系に対する離散的透過境界条件をどのように導出できるか。
• RQ2 ステアガード格子とコラティッド格子の離散化において、このような境界条件の実装可能性と安定性にどのような相違があるか。
• RQ3 提案手法が、数値シミュレーションにおいて反射のない平面波を正確に注入・吸収できるか。
• RQ4 位相速度と群速度は数値結果にどのように現れ、理論的期待と一致するか。
• RQ5 波数および分散パラメータが、過渡状態および定常状態の波動伝播に与える影響は何か。

主な発見

• Z変換の逆変換を用いて、出射波および入射波の両方に対して反射のない境界条件を効果的に生成できた。
• ステアガード格子ではZ変換の明示的逆変換が可能である一方、コラティッド格子では安定な数値的逆変換手順が必要である。
• 数値的結果から、ガウス分布および波パケット初期データの両方において、過渡期でさえも最小限の反射で正確な波動伝播が得られた。
• 位相速度と群速度が正しく捉えられており、分散系では群速度が位相速度より小さいという予想通りの挙動が確認された。
• 波数p=4およびp=8、ε=10⁻³の場合、過渡期を経て波解が定常な伝搬状態に安定化し、手法の安定性と精度が裏付けられた。
• 本手法は、無限領域における正確な解と整合するエネルギー挙動を維持しており、領域截断に起因する人工的なエネルギー損失を回避した。